Exercícios Resolvidos de Equações de Graus Maiores

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Enunciado

Mostre que p x = x 3 - 3 x 2 + 6 tem exatamente um raiz real.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Sabemos que raízes são algo que estão fundadas na base, certo? Então, daí vem nome de raiz na matemática, a raiz de uma função é quando ela cruza o chão do gráfico, isto é, o eixo x ou y=0

Sendo assim, vamos fazer p x = 0 e ver em qual ponto de x ela cruza o eixo x

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

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x 3 - 3 x 2 + 6 = 0

Parece simples né, mas na verdade é um trabalhão encontrar.

Vamos fazer x = y + 1

y + 1 3 - 3 y + 1 2 + 6 = 0

y 3 - 3 y + 4 = 0

Essa função ainda é cabulosa de obter o resultado. Precisamos fazer outra substituição.

As substituições são feitas pra irmos facilitando o resultado.

Assim:

y = z + λ z

Onde λ é uma constante a ser determinada, assim:

z + λ z 3 - 3 z + λ z + 4 = 0

z 6 + z 4 3 λ - 3 + 4 z 3 + z 2 3 λ 2 - 3 λ + λ 3 = 0

Precisamos achar λ para fazer z 2 e z 4 ambos igual a 0. Assim, vemos que λ = 1

De modo que temos ao fim:

z 6 + 4 z 3 + 1 = 0

Façamos novamente u = z 3 . Ficando:

u 2 + 4 u + 1 = 0

Chegamos nessa equação quadrática que é fácil, cuja solução é:

u = 3 - 2

Passo 3

Agora nos basta retornar:

u = z 3 → z = u 3 = 3 - 2 3

Que também é:

z = - - 1 3   3   - 2 3   o u     z = - - 1 2 3   3   - 2 3  

Mas

y = z + 1 z = - - 1 2 3   3   - 2 3   + 1 - - 1 2 3   3   - 2 3

Passando pra um divisor comum:

y =   - 2 - 3 2 3 - 1 2 - 3 3

E por fim:

x = y + 1 = - 2 - 3 2 3 - 1 2 - 3 3 + 1

x = - 2 - 3 2 3 - 1 2 - 3 3 + 1

Resposta

x = - 2 - 3 2 3 - 1 2 - 3 3 + 1