Calcule o limite ou explique porque não existe.

a   lim x → 2 ⁡ x 3 + x 2 - 4 x - 4 x 3 - 4 x 2 + 4 x

Passo 1

Se substituirmos o limite nós zeramos numerador e denominador:

lim x → 2 ⁡ x 3 + x 2 - 4 x - 4 x 3 - 4 x 2 + 4 x = 8 + 4 - 8 - 4 8 - 16 + 8

= 0 0

Isso significa que 2 é raiz dos dois polinômios, do de cima e do de baixo. Assim, vamos dividir os dois polinômios por ( x - 2 ) para ver se a cara dele muda.

Passo 2

Primeiro o numerador:

x 3 + x 2 - 4 x - 4 x - 2 = x 3 - 2 x 2 + 2 x 2 + x 2 - 4 x - 4 x - 2

= x 2 x - 2 + 3 x 2 - 4 x - 4 x - 2 = x 2 + 3 x 2 - 6 x + 6 x - 4 x - 4 x - 2

= x 2 + 3 x x - 2 + 2 x - 4 x - 2 = x 2 + 3 x 2 x - 4 x - 2

= x 2 + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 )

Agora vamos dividir o denominador por ( x - 2 ) :

x 3 - 4 x 2 + 4 x x - 2 = x 3 - 2 x 2 + 2 x 2 - 4 x 2 + 4 x x - 2

= x 2 x - 2 - 2 x 2 + 4 x x - 2 = x 2 + - 2 x x - 2 x - 2

= x 2 - 2 x = x ( x - 2 )

Passo 3

Agora, podemos reescrever o limite, já dividido em cima e embaixo por ( x - 2 ) , assim:

lim x → 2 ⁡ x 3 + x 2 - 4 x - 4 x 3 - 4 x 2 + 4 x = lim x → 2 ⁡ x 3 + x 2 - 4 x - 4 x - 2 x 3 - 4 x 2 + 4 x x - 2

= lim x → 2 ⁡ x + 1 x + 2 x x - 2

O limite de x + 1 x + 2 x está definido, mas:

lim x → 2 ⁡ 1 x - 2 = ∞

Então, o limite não existe.

Além disso, podemos analisar os limites laterais:

lim x → 2 ⁡ x + 1 x + 2 x x - 2 = 2 + 1 2 + 2 2 lim x → 2 ⁡ 1 x - 2

= 6 lim x → 2 ⁡ 1 x - 2

Porém, temos:

lim x → 2 + ⁡ 1 x - 2 = + ∞     ;     lim x → 2 - ⁡ 1 x - 2 = - ∞

6 lim x → 2 ⁡ 1 x - 2 = ∄

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 3 + x 2 - 4 x - 4 x 3 - 4 x 2 + 4 x = ∄

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