Resolva:

lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x 2 - 2 x - 3

Passo 1

Legal, a primeira coisa é substituir o ponto:

lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x 2 - 2 x - 3 = - 1 + 1 - 1 2 - 2 ⋅ - 1 - 3 = 0 0

Putz, deu uma indeterminação. Vamos então fatorar o polinômio no denominador para tentar simplificar alguma coisa. Por Bhaskara, encontramos x = - 1 e x = 3 . Sabendo que a b = a b , então: lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x 2 - 2 x - 3 = lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x + 1 x - 3 = lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x + 1 | | x - 3

Não podemos sair cortando nada aqui, porque tem o módulo, mas podemos usar a propriedade do produto de limites para separá-los: lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x + 1 | | x - 3 = lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x + 1 ⋅ lim x → - 1 + ⁡ 1 x - 3

Deixamos o x + 1 no limite da esquerda para ver conseguimos cortar alguma coisa. Assim vamos agora analisar cada limite separadamente agora.

Passo 2

Vamos pegar o limite da direta primeiro:

lim x → - 1 + ⁡ 1 x - 3 = ? ?

Se a gente substituir no ponto, temos: lim x → - 1 + ⁡ 1 x - 3 = 1 - 1 - 3 = 1 4

Opa! Então esse não dá zero. Vamos ver o outro.

Passo 3

lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x + 1 = ? ?

Hmmm. Para determinar esse limite, vamos ver o que acontece com o módulo. Estamos nos aproximando de x pela direita, conforme indica x → - 1 + , ou seja, estamos nos aproximando por valores maiores que x = - 1 .

Assim ao substituir no módulo, temos:

- 1 + + 1

Quanto dá um número um pouco maior que - 1 + 1? Dá um número um pouco maior que zero. Cuidado para não se confundir aqui, um número maior que - 1 é - 0.5 , por exemplo, e não - 2 .

Assim sendo, o módulo será sempre positivo. Com isso, podemos substituir x + 1 por x + 1 , ficando:

lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x + 1 = lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x + 1 = 1

Passo 4

Show. Então tudo vai ficar: lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x + 1 | | x - 3 = lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x + 1 ⋅ lim x → - 1 + ⁡ 1 x - 3 = 1 ⋅ 1 4 = 1 4

Resposta

lim x → - 1 + ⁡ x + 1 x + 1 | | x - 3 = 1 4

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4