1a) Determine se existem ou não os seguintes limites. Em caso afirmativo, calcule o seu valor. (Justifique!)(NÃO é permitido uso da regra de L’Hôspital)

lim x → 1 ⁡ x 3 + 2 x 2 - 6 x + 3 x 2 - x

Passo 1

Vamos lá. Pra começar, a primeira coisa que a gente tem que fazer quando vê um limite é substituir pra ver o que dá. Então partiu:

lim x → 1 ⁡ x 3 + 2 x 2 - 6 x + 3 x 2 - x = 1 + 2 - 6 + 3 1 - 1 = 0 0

Eita! Indeterminação! Mas relaxa gafanhoto, que tem como a gente se safar dela. Nota o seguinte, se em cima e em baixo a substituição deu 0 , é porque x = 1 é raiz dos dois polinômios! Isso ajuda a gente porque quer dizer que podemos reescrever o limite dessa forma:

lim x → 1 ⁡ x 3 + 2 x 2 - 6 x + 3 x 2 - x = lim x → 1 ⁡ x - 1 …   1 x - 1 …   2 = lim x → 1 ⁡ …   1 …   2

Onde …   1 , …   2 são polinômios também, um grau menor do que os que deram origem a eles. O truque vai ser descobrir quem são eles. Pro de baixo é tranquilo:

x 2 - x = x x - 1

…   2 = x

Agora vamos pro de cima!

Passo 2

Pô, o polinômio de cima é do terceiro grau! Pra gente achar …   1 a melhor forma é usar divisão de polinômios, isto é, tio Briot-Ruffini. Faz assim, pega os coeficientes do polinômio de cima e dispõe eles assim:

1 |       1 2 - 6 3 - |       - - - -   |                            

Agora a gente faz assim. Desce ce o primeiro número, multiplica pelo 1 no canto superior esquerdo, que é uma raiz conhecida qualquer do polinômio (no caso, conhecemos x = 1 ) e soma com o segundo número. O resultado disso põe em baixo do segundo número e repete. Vamos lá? Primeiro passo então:

1 |       1 2 - 6 3 - |       - - - -             1                    

1 ∙ 1 + 2 = 3

Passo 2:

1 |       1 2 - 6 3 - |       - - - -             1           3      

3 ∙ 1 - 6 = - 3

Passo 3:

1 |       1 2 - 6 3 - |       - - - -                       1           3 - 3    

- 3 ∙ 1 + 3 = 0

E por fim, chegamos a:

1 |       1 2 - 6 3 - |       - - - -                           1           3 - 3   0    

Os valores em baixo são os coeficientes do polinômio …   1 que vai ser necessariamente um grau inferior. O último número chamamos de resto. Dessa forma, escrevemos:

x 3 + 2 x 2 - 6 x + 3 = x - 1 x 2 + 3 x - 3 + 0

E logo:

…   1 = x 2 + 3 x - 3

Passo 3

E fechou pessoal, agora é só calcular o limite:

lim x → 1 ⁡ …   1 …   2 = lim x → 1 ⁡ x 2 + 3 x - 3 x = 1 + 3 - 3 1 = 1

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 3 + 2 x 2 - 6 x + 3 x 2 - x = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4