1c) Calcule os seguintes limites. Não é permitido o uso da regra de L’Hôspital:

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x x 2 - 5 x + 6

Passo 1

A primeira coisa que a gente faz em qualquer limite é substituir e ver o que acontece. Partiu então:

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x x 2 - 5 x + 6 = 2 2 - 2.2 2 2 - 5.2 + 6 = 4 - 4 4 - 10 + 6 = 0 0

Xiii, indeterminação! E agora? Bem, já que não conseguimos resolver direto, vamos tentar umas estratégias para resolver isso aí. Vamo que vamo

Passo 2

Saca só, o denominador é um polinômio de segundo grau que zera quando x = 2 . Ou seja, x = 2 é uma raiz dele. Bora achar a outra? Seja:

x 2 - 5 x + 6 = a x 2 + b x + c

E a fórmula de Bháskara:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Podemos reescrever o polinômio para:

x 2 - 5 x + 6 = a x - x 1 x - x 2

E bem, como:

a = 1 b = - 5 c = 6

Achamos as raízes:

x 1,2 = - - 5 ± - 5 2 - 4 1 6 2 1

x 1,2 = 5 ± 25 - 24 2

x 1,2 = 5 ± 1 2 = 6 2 = 3 4 2 = 2

Fechamos então o polinômio reescrito, que fica:

x 2 - 5 x + 6 = x - 2 x - 3

Passo 3

Ok, mas e agora? Mexemos já no denominador, mas e o numerador? Saca só como fica se não mexermos nele:

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x x 2 - 5 x + 6 = lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x x - 2 x - 3 = 0 0

A indeterminação não some, não é mesmo? Então pra sumir, vamos notar o seguinte: tanto o termo x 2 quanto o termo 2 x tem algo em comum: um x ! Colocando ele em evidência então:

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x x - 2 x - 3 = lim x → 2 ⁡ x x - 2 x - 2 x - 3

Aiii sim em! Temos como cortar em cima e em baixo x - 2 . Vamos ficar com:

lim x → 2 ⁡ x x - 2 x - 2 x - 3 = lim x → 2 ⁡ x x - 3

lim x → 2 ⁡ x x - 3 = 2 2 - 3 = - 2

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x x 2 - 5 x + 6 = - 2

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4