Calcule os seguintes limites (não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):

b lim x → a ⁡ x 2 - a + 1 x + a x 2 - a 2

Passo 1

Substituindo o limite aí, temos uma indeterminação de 0 0 :

lim x → a ⁡ x 2 - a + 1 x + a x 2 - a 2 = a 2 - a + 1 a + a a 2 - a 2 = 0 0

Temos que fugir dessa indeterminação. Bora pegar esses polinômios e abri-los em função de suas raízes!

Passo 2

Começamos usando o produto notável da diferença de quadrados nesse cara de baixo:

x 2 - a 2 = x + a x - a

Fazemos Bhaskara no cara de cima agora:

x 2 - a + 1 x + a →     x = - - a + 1 ± - a + 1 2 - 4 1 a 2 1

x = a + 1 ± a 2 + 2 a + 1 - 4 a 2 = a + 1 ± a 2 - 2 a + 1 2

x = a + 1 ± a - 1 2 2 = a + 1 ± a - 1 2

x 1 = a       ;       x 2 = 1

Passo 3

Logo, temos:

lim x → a ⁡ x 2 - a + 1 x + a x 2 - a 2 = lim x → a ⁡ x - a x - 1 x + a x - a

Cortamos o x - a no numerador e no denominador:

lim x → a ⁡ x - a x - 1 x + a x - a = lim x → a ⁡ x - 1 x + a

= a - 1 a + a = a - 1 2 a

Obs: Aqui tem um detalhe , se a fosse 0 , o resultado vai para ± ∞ , dependendo de qual lado o x se aproxima de 0 . Para a ≠ 0 , o resultado é esse mesmo.

Resposta

lim x → a ⁡ x 2 - a + 1 x + a x 2 - a 2 = a - 1 2 a

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4