1. Considere as funções e onde e
a) Verifique que e . O que se pode concluir sobre e ?
b) Determine e .
c) Se e e é a matriz identidade , faça os produtos nos lados esquerdos das igualdades a seguir e verifique que:
e .
Sem calcular esses produtos, já era esperado que essas igualdades se verificassem. Por que?
Passo 1
a) O problema quer que a gente verifique
Então bora lá... Reescrevendo de outra maneira:
De dentro pra fora temos:
Temos que mostrando então que:
Lembrando que
Então:
Passo 2
Falta provar
Temos:
Substituindo:
Lembrando que , temos:
O problema diz que , então:
Portanto e são funções inversas
Passo 3
b) Queremos a derivada de uma função vetorial:
A matriz Jacobiana fica:
Passo 4
Ainda falta. Lembrando que:
Temos:
Passo 5
Ele quer:
Porém
e
Então temos:
Já vimos que e , vamos chamar:
Então:
Temos também:
Passo 6
Vamos calcular agora:
e
Já vimos que e , vamos chamar:
Então:
Temos também:
Resposta
- Funções inversas