Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

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Enunciado

Seja h x , y , z =   g y 2 + x z , x y z , em que g é uma função real diferenciável. Encontre ∇ h 1 , - 1 , - 4 sabendo que ∇ g - 3,2 = 1,3 e ∇ g 1,3 = - 3,2 .

Passo 1

Repara que a função h na verdade é composta de duas funções, umas que é a função g e outra que da os valores das suas componentes, ou seja, uma função ϕ

ϕ x , y , z = y 2 + x z , x y z

E a função h vai ser

h = g ∘ ϕ

Ele quer o vetor gradiente, mas o vetor gradiente nada mais é que o jacobiano da função.

Para fazer o jacobiano de h vamos ter que fazer o jacobiano de cada função.

Passo 2

Vamos começar fazendo J ϕ , mas como é a função ϕ ? Ela vai ser

ϕ : R 3 → R 2

Certo? Temos 3 parâmetros sendo levados em 2 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

ϕ 1 = y 2 + x z

ϕ 2 = x y z

J ϕ = ∂ ϕ 1 ∂ x ∂ ϕ 1 ∂ y ∂ ϕ 1 ∂ z ∂ ϕ 2 ∂ x ∂ ϕ 2 ∂ y ∂ ϕ 2 ∂ z

Passo 3

Vamos achar as derivadas

∂ ϕ 1 ∂ x = z

∂ ϕ 1 ∂ y = 2 y

∂ ϕ 1 ∂ z = x

∂ ϕ 2 ∂ x = 1 2 y z x y z

∂ ϕ 2 ∂ y = 1 2 x z x y z

∂ ϕ 2 ∂ z = 1 2 x y x y z

A matriz jacobiana vai ficar

J ϕ = z 2 y x 1 2 y z x y z 1 2 x z x y z 1 2 x y x y z

Como ele deu um ponto temos que achar o jacobiano nesse ponto, 1 , - 1 , - 4

J ϕ = - 4 2 - 1 1 1 2 - 1 ∙ - 4 - 4 ∙ - 1 ∙ 1 1 2 1 ∙ - 4 - 4 ∙ - 1 ∙ 1 1 2 1 ∙ - 1 - 4 ∙ - 1 ∙ 1

⇒ - 4 - 2 1 4 2 4 - 4 2 4 - 1 2 4

J ϕ = - 4 - 2 1 1 - 1 - 1 4

Passo 4

Vamos achar agora a matriz jacobiana de g

Ela vai ser

g : R 2 → R

Certo? Temos 2 parâmetros sendo levados em 1 coordenadas.

Quais são as funções componentes? Ele não deu, então vamos considerar

g 1 = g

Como vai ficar o jacobiano?

J g = ∂ g ∂ u ∂ g ∂ u

Passo 5

Repara que esse jacobiano que achamos é igual ao vetor gradiente

J g = ∇ g

Mas quais os valores de u e v ? Temos que trocar os valores do ponto 1 , - 1 , - 4 na função ϕ e descobrir u e v

ϕ 1 , - 1 , - 4 = - 1 2 + 1 ∙ - 4 , - 4 ∙ - 1 ∙ 1 = - 3,2

Então

u = - 3

v = 2

O jacobiano vai ficar

J g = ∇ g - 3,2

Pelo enunciado

J g = 1 3

Passo 6

Vamos agora para a matriz jacobiana de h

J h = J g ∙ J ϕ

J h 1 , - 1 , - 4 = 1 3 ∙ - 4 - 2 1 1 - 1 - 1 4 = - 4 + 3 - 2 - 3 1 - 3 4

J h 1 , - 1 , - 4 = - 1 - 5 1 4

Então

∇ h 1 , - 1 , - 4 = - 1 - 5 1 4

Resposta

∇ h 1 , - 1 , - 4 = - 1 - 5 1 4

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