Regra da Cadeia para Funções de Vetoriais
Seja , em que é uma função real diferenciável. Encontre sabendo que e .
Passo 1
Repara que a função na verdade é composta de duas funções, umas que é a função e outra que da os valores das suas componentes, ou seja, uma função
E a função vai ser
Ele quer o vetor gradiente, mas o vetor gradiente nada mais é que o jacobiano da função.
Para fazer o jacobiano de vamos ter que fazer o jacobiano de cada função.
Passo 2
Vamos começar fazendo , mas como é a função ? Ela vai ser
Certo? Temos parâmetros sendo levados em coordenadas.
Quais são as funções componentes?
Passo 3
Vamos achar as derivadas
A matriz jacobiana vai ficar
Como ele deu um ponto temos que achar o jacobiano nesse ponto,
Passo 4
Vamos achar agora a matriz jacobiana de
Ela vai ser
Certo? Temos parâmetros sendo levados em coordenadas.
Quais são as funções componentes? Ele não deu, então vamos considerar
Como vai ficar o jacobiano?
Passo 5
Repara que esse jacobiano que achamos é igual ao vetor gradiente
Mas quais os valores de e ? Temos que trocar os valores do ponto na função e descobrir e
Então
O jacobiano vai ficar
Pelo enunciado
Passo 6
Vamos agora para a matriz jacobiana de
Então