Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

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Enunciado

Seja g : R 2 → R uma função diferenciável. Calcule a matriz jacobiana de

h x , y , z = g y z + x 2 , y 2 + x e z

no ponto 1,1 , 0

Passo 1

Repara que a função h na verdade é composta de duas funções, uma que é a função g e outra que da os valores das suas componentes, ou seja, uma função ϕ

ϕ x , y , z = y z + x 2 , y 2 + x e z

E a função h vai ser

h = g ∘ ϕ

Para fazer o jacobiano de h vamos ter que fazer o jacobiano de cada função.

Passo 2

Vamos começar fazendo J ϕ , mas como é a função ϕ ? Ela vai ser

ϕ : R 3 → R 2

Certo? Temos 3 parâmetros sendo levados em 2 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

ϕ 1 = y z + x 2

ϕ 2 = y 2 + x e z

J ϕ = ∂ ϕ 1 ∂ x ∂ ϕ 1 ∂ y ∂ ϕ 1 ∂ z ∂ ϕ 2 ∂ x ∂ ϕ 2 ∂ y ∂ ϕ 2 ∂ z

Passo 3

Vamos achar as derivadas

∂ ϕ 1 ∂ x = 2 x

∂ ϕ 1 ∂ y = z

∂ ϕ 1 ∂ z = y

∂ ϕ 2 ∂ x = e z

∂ ϕ 2 ∂ y = 2 y

∂ ϕ 2 ∂ z = x e z

A matriz jacobiana vai ficar

J ϕ = 2 x z y e z 2 y x e z

Como ele deu um ponto temos que achar o jacobiano nesse ponto, 1,1 , 0

J ϕ = 2 0 1 e 0 2 1 . e 0 = 2 0 1 1 2 1

Passo 4

Vamos achar agora a matriz jacobiana de g

Ela vai ser

g : R 2 → R

Certo? Temos 2 parâmetros sendo levados em 1 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

g 1 = g

Como vai ficar o jacobiano?

J g = ∂ g ∂ u ∂ g ∂ v

Passo 5

Precisamos achar esse jacobiano no ponto.

Mas quais os valores de u e v ? Temos que trocar os valores do ponto 1,1 , 0 na função ϕ e descobrir u e v

ϕ 1,1 , 0 = 1.0 + 1 2 , 1 2 + 1 e 0 = 1,2

Então

u = 1

v = 2

O jacobiano vai ficar

J g = ∂ g ∂ u 1,2 ∂ g ∂ v 1,2

Passo 6

Vamos agora para a matriz jacobiana de f

J f = J g ∙ J ϕ

J f 1,1 , 0 = ∂ g ∂ u 1,2 ∂ g ∂ v 1,2 ∙ 2 0 1 1 2 1 =

J f 1,1 , 0 = 2 ∂ g ∂ u 1,2 + ∂ g ∂ v 1,2 2 ∂ g ∂ v 1,2 ∂ g ∂ u 1,2 + ∂ g ∂ v 1,2

Resposta

J f 1,1 , 0 = 2 ∂ g ∂ u 1,2 + ∂ g ∂ v 1,2 2 ∂ g ∂ v 1,2 ∂ g ∂ u 1,2 + ∂ g ∂ v 1,2

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