Sejam e .
- Verifique que uma das compostas ou não está definida.
- Determine e
- Determine ou , a que for possível
Passo 1
a) Vamos lá, temos duas funções compostas, e apenas uma dela é definida. Se fosse múltipla escolha seria de chance de acertar :D Ok, mas não é, então partiu entender essa parada.
Acho que a maneira mais simples de entender isso é assim:
Podemos ver que a função leva pontos do no , pois temos como entrada coordenadas, , e , e como saída um vetor de duas coordenadas. Já a função , leva pontos do no , pois entra e , e resulta num vetor com quatro coordenadas. E além disso sabemos que uma função composta deve ser tal que o domínio da função mais externa seja igual ao da imagem da mais interna.
Nessa bagunça toda aí de cima, vemos que em termos de dimensão, aparece a imagem da função e no domínio da função . Assim, a única combinação válida é ,
pois teremos sendo levado em (nesse caso, domínio e imagem de mesma dimensão).
Só pra entender melhor, vamos ver por que o outro caso não daria? Se quiséssemos usar pontos da imagem de como argumentos da função , teríamos pontos de coordenadas (gerados por ) numa função que precisa receber pontos de duas como argumento (argumentos da têm duas dimensões), o que não daria certo!
Passo 2
b) Beleza, agora só temos que encontrar as derivadas parciais, e, pra isso, só encontrar a Jacobiana:
Para a função , e , ou seja, primeira e segunda coordenadas. Eu peguei essa matriz aí da teoria, que por acaso é para uma função que nem essa , que leva . Agora é achar as derivadas parciais de e em relação a cada uma das variáveis, e .
Fazendo o mesmo para ,
Passo 3
Show! Agora é só colocar os valores encontrados na Jacobiana!
Passo 4
Já sabe o que fazer agora, certo? Para de ver a resolução e tenta fazer o mesmo para a outra função! Lembre-se que o número de colunas da Jacobiana é o número de variáveis do domínio , e o número de linhas é a dimensão para onde esse domínio está sendo levado!
Passo 5
Agora que você já vez sozinho(a) para treinar, vê se ficou assim:
Vemos que a nossa jacobiana deve ter duas colunas e quatro linhas, e fica assim:
Sendo
Passo 6
Encontrando as derivadas de cada em relação a e em relação a , teremos:
Passo 7
E colocando na matriz,
Passo 8
c)Finalmente! Pra fechar com chave de ouro, vamos calcular o valor da função composta para a função que existe, obviamente. Como vimos do passo 1, a função que dá pra fazer é .
Para fazer a derivada dessa função composta, temos que simplesmente usar a regra da cadeia! Para ilustrar melhor essa parada de , vamos escrever:
Ou seja, se formos usar a regra da cadeia, temos que fazer a derivada da função de fora no ponto definido pela de dentro, vezes a derivada da função de dentro. Fica assim:
Passo 9
Começando por encontrar , que será o argumento de ,
E colocando o ponto como argumento de , teremos:
Passo 10
Agora vamos colocar o ponto como argumento de ,
E multiplicamos uma matriz pela outra,
Resposta
a) é a que está definida
b) e
c)