Seja , em que é uma função real diferenciável, tal que e . Se , encontre , e .
Passo 1
Vamos lá, temos uma função , que tem como entrada uma variável real e retorna um vetor de duas coordenadas . Essa variável , por sua vez, é uma função que pega um ponto de coordenadas, , e leva em um número real .
Aí já podemos ver que nossa função composta é válida, por que o domínio da mais externa, , é igual à imagem da mais interna, .
Agora, vamos ao que interessa, quando ele fala que quer , , e , o que está pedindo são as derivadas das funções compostas, ou seja, , que é, na prática, pela regra da cadeia,
Sendo que essa derivada em relação a vem da regra da cadeia, e o “apóstrofo” de derivada é para uma, especificamente, em relação a , ou .
Passo 2
Show, agora só precisamos usar essas coisas todas que nos deram no enunciado (porque né, não foram dadas à toa, e nem teremos como adivinhar alguns resultados que vão aparecer), e calcular a expressão encontrada no passo anterior!
Vamos começar vendo qual é o valor de para . Para isso, basta colocar esse onde aparecer , pois :
Lembrando que ,
Opa! Olha bem esse vetor, . Se colocasse um aí na terceira casa não ia ficar igual ao do ponto que eles querem que calculemos as derivadas parciais? Não é nem um pouco por acaso XD O que acabamos de encontrar significa que, se colocarmos como argumento de , para o ponto , teremos um vetor , e a terceira coordenada do ponto de é dada pela função , pois não a altera ( retorna um vetor de ). Então, se temos , e colocamos em , teremos .
Passo 3
Agora que temos , vejamos para . Para isso, basta derivar a função vetorial, nesse caso, nem precisa da matriz jacobiana por que ela só tem uma variável !
Colocando o valor de , ou seja, ,
Passo 4
E chegou a melhor parte, já que, como o gradiente é exatamente, então tudo o que precisamos fazer é ver as coordenadas dadas pelo enunciado e fazer o produto escalar do passo :
Sabemos que o gradiente no ponto é . Logo, a derivada de em relação a vale , em relação a vale e em relação a vale , para o ponto .
Sabemos também que o vetor é .
Então, para a derivada de em relação a , teremos:
Em relação a , temos:
E em relação a , fica:
Resposta
Derivadas: , ,