Regra da cadeia
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)
Se é dada por e , então
Passo 1
Vamos achar o jacobiano da função e ver se suas derivadas vão ter essa propriedade
Repara que a função na verdade é composta de duas funções, umas que é a função e outra que da os valores das suas componentes, ou seja, uma função
E a função vai ser
Para fazer o jacobiano de h vamos ter que fazer o jacobiano de cada função.
Passo 2
Vamos começar fazendo , mas como é a função ? Ela vai ser
Certo? Temos 2 parâmetros sendo levados em coordenadas.
Quais são as funções componentes?
Passo 3
Vamos achar as derivadas
A matriz jacobiana vai ficar
Passo 4
Vamos achar agora a matriz jacobiana de
Ela vai ser
Certo? Temos parâmetros sendo levados em coordenadas.
Quais são as funções componentes?
Como vai ficar o jacobiano?
Passo 5
Calculando as derivadas vamos ter
O jacobiano vai ficar
Precisamos achar esse jacobiano no ponto.
Mas quais os valores de e ? Temos que achar e em função de e . Usando a função
Então
O jacobiano vai ficar
Passo 6
Vamos agora para a matriz jacobiana de
Isso nos diz que
Passo 7
Usando os valores das derivadas que achamos vamos calcular
Que é exatamente o que ele disse, então é verdadeiro
Resposta
Verdadeiro