Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

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Enunciado

8 - Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2 y + x - 3 = 0 e tangente ao gráfico de f x = x 2 - 3 x .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos uma função f x = x 2 - 3 x e queremos encontrar uma reta tangente a essa função que seja perpendicular à reta 2 y + x - 3 = 0 .

Como vamos encontrar essa reta? 🤔

Dada a reta y = a x + y 0 uma outra reta é perpendicular se seu coeficiente angular for oposto e inverso, ou seja, y 1 = - 1 a x + y 0 ' .

Podemos encontrar a função tangente a f x derivando f e igualando a - 1 a vamos encontras os valores para x que satisfazem nossa reta.

Substituindo em f x encontramos a imagem do ponto e por último encontramos y 0 ' substituindo y 1 pela imagem.

Deu pra entender? 👀

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a equação da reta em seu modo reduzido

2 y + x - 3 = 0

Isolando o y , temos

2 y = - x + 3

y = - 1 2 x + 3 2

Assim, vemos que a = - 1 2 então a reta perpendicular a ela deve ter

a ' = - 1 a = - 1 - 1 2

a ' = 2

Logo a equação da reta tangente a f x deve ter a seguinte cara

y = 2 x + y 0 '

E agora, o que nos resta, é encontrar o valor de y 0 ' . Pra isso, vamos derivar a função f x e encontrar os valores de x em que o coeficiente angular é igual a 2 .

A derivada de uma função não nos dá a reta tangente a essa função? Portanto substituindo x por um valor, o resultado é o coeficiente angular da reta tangente a aquele ponto!

O que vamos fazer é esse método ao contrário.

Derivando f x pelo método de derivação polinomial multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo 1 do expoente, temos

f ' x = 2 · x 2 - 1 - 3 x 1 - 1

f ' x = 2 x - 3

Igualando a a ' , ou seja, a 2 ...

2 x - 3 = 2

x = 5 2

Isso que encontramos é o ponto de f x que a reta tangente satisfaz nossos requisitos.

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora temos que substituir x = 5 / 2 em f x para encontrar a imagem desse ponto.

f 5 2 = 5 2 2 - 3 5 2

f 5 2 = 25 4 - 15 2

f 5 2 = - 5 4

Você concorda que essa imagem também pertence a reta tangente y ?

Portanto, substituindo y por - 5 / 4 , temos

- 5 4 = 2 x + y 0 '

Mas x nesse ponto é 5 / 2 , não é?

- 5 4 = 2 5 2 + y 0 '

- 5 4 = 5 + y 0 '

y 0 ' = - 5 4 - 5

Portanto, y 0 ' é igual a

y 0 ' = - 25 4

Com isso, encontramos a reta tangente que queríamos e ela é dada por

y = 2 x - 25 4

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

y = 2 x - 25 4

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