Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

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Enunciado

Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função a seguir e perpendicular a reta n abaixo

f ( x ) = x 3 + 6 x - 3

n : x + 18 y + 3 = 0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de f e que são perpendiculares a reta s . Vocês lembram da definição da reta tangente ao gráfico, e reta normal? Vamos revisar!

A reta r tangente ao gráfico da função f no ponto x = x 0 é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ou seja, ela depende da derivada de f . O que faz sentido, já que a derivada de uma função dá a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função.

e o que seria a reta normal? Ora é a reta PERPENDICULAR à reta tangente. Então, se

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

é a reta tangente ao gráfico no ponto x = x 0 . A reta normal nesse ponto será:

n :   ( y - f ( x 0 ) ) = - 1 f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ou seja, o enunciado já nos informa qual é a reta normal, e ele quer que calculemos as retas tangentes ao gráfico de f que são perpendiculares a reta

n : x + 18 y + 3 = 0

Com isso em mente, vamos calcular a nossa reta de interesse:

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de f e que são perpendiculares a reta s . A nossa função f e reta s estão abaixo.

f ( x ) = x 3 + 6 x - 3

n : x + 18 y + 3 = 0

O enunciado nos dá a reta perpendicular, como podemos usar essa informação para descobrir qual é a reta tangente? Bem, se α é o coeficiente angular da reta ortogonal, então o coeficiente angular da reta tangente será - 1 / α . Então vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente.

Usando o fato que se uma reta é descrita na forma

y = α x + b

então o coeficiente angular da reta é o termo que multiplica x . Então temos que:

n : x + 18 y + 3 = 0

⇒ n : y = - x / 18 - 3 / 18

Usando o fato acima, temos que o coeficiente angular da reta ortogonal n é - 1 / 18 .

Logo, o coeficiente da reta tangente ao gráfico de f que é perpendicular a reta n é

- 1 - 1 / 18 = 18

Nós obtemos o coeficiente da reta tangente. Agora precisamos descobrir quais os pontos x = x 0 cuja reta tangente a f tem a inclinação igual a 18 , ou seja, os pontos onde

f ' ( x 0 ) = 18

Passo 3

Agora, precisamos calcular o coeficiente da reta tangente a f em um ponto x 0 . de forma que

f ' ( x 0 ) = 18

Lembrando que a reta tangente é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

E seu coeficiente angular é f ' ( x 0 ) . Vamos começar calculando a derivada de f . Como

f ( x ) = x 3 + 6 x - 3

Usando a regra da derivada de função polinomial, temos que:

( x p ) ' = p ( x p - 1 )

então, pela regra e pela linearidade da derivada, temos que

f ' ( x ) = ( x 3 + 6 x - 3 ) '

= ( x 3 ) ' + 6 ( x ) ' - ( 3 ) '

= 3 x 2 + 6

Ou seja, o coeficiente angular de qualquer reta tangente ao gráfico de f no ponto x = x 0 é dada por

f ' ( x 0 ) = 3 x 0 2 + 6

Bacana né?

Passo 4

Descobrimos que o coeficiente angular da reta tangente precisa ser 18 . O que implica que

f ' ( x 0 ) = 18

Mas já calculamos f ' ( x 0 ) no passo anterior. então temos que

f ' ( x 0 ) = 3 x 0 2 + 6

⇒ 3 x 0 2 + 6 = 18

⇒ x 0 = ± 2

Ou seja, temos 2 pontos que satisfazem a igualdade

f ' ( x 0 ) = 18

Então teremos duas retas tangentes a f que são ortogonais a reta n . Essas retas tangentes passam pelos pontos x 0 = 2 e x 0 = - 2

Vamos calcular essa reta.

Lembrando que a equação da reta tangente é:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

e que

f ( x ) = x 3 + 6 x - 3

f ' ( x 0 ) = 3 x 0 2 + 6

Substituindo x 0 = 2 , temos:

r 1 :   ( y - f ( 2 ) ) = f ' ( 2 ) ( x - 2 )

⇒ r 1 :   ( y - 17 ) = 18 ( x - 2 )

Isolando y , obtemos

⇒ r 1 :   y = 18 x - 19

Substituindo x 0 = - 2 , temos:

r 2 :   ( y - f ( - 2 ) ) = f ' ( - 2 ) ( x + 2 )

⇒ r 2 :   ( y - 23 ) = 18 ( x + 2 )

Isolando y , obtemos

⇒ r 2 :   y = 18 x + 59

Então as retas tangentes ao gráfico de f , e perpendicular a reta n são as retas

r 1 :   y = 18 x - 19

r 2 :   y = 18 x + 59

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

r 1 :   y = 18 x - 19

r 2 :   y = 18 x + 59

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