UFCG; Cálculo 1; Lista-2; Derivadas; questão 5b
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função a seguir e perpendicular a reta abaixo
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de e que são perpendiculares a reta . Vocês lembram da definição da reta tangente ao gráfico, e reta normal? Vamos revisar!
A reta tangente ao gráfico da função no ponto é dada por:
Ou seja, ela depende da derivada de . O que faz sentido, já que a derivada de uma função dá a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função.
e o que seria a reta normal? Ora é a reta PERPENDICULAR à reta tangente. Então, se
é a reta tangente ao gráfico no ponto . A reta normal nesse ponto será:
Ou seja, o enunciado já nos informa qual é a reta normal, e ele quer que calculemos as retas tangentes ao gráfico de que são perpendiculares a reta
Com isso em mente, vamos calcular a nossa reta de interesse:
Passo 2
Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de e que são perpendiculares a reta . A nossa função e reta estão abaixo.
O enunciado nos dá a reta perpendicular, como podemos usar essa informação para descobrir qual é a reta tangente? Bem, se é o coeficiente angular da reta ortogonal, então o coeficiente angular da reta tangente será . Então vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente.
Usando o fato que se uma reta é descrita na forma
então o coeficiente angular da reta é o termo que multiplica . Então temos que:
Usando o fato acima, temos que o coeficiente angular da reta ortogonal é .
Logo, o coeficiente da reta tangente ao gráfico de que é perpendicular a reta é
Nós obtemos o coeficiente da reta tangente. Agora precisamos descobrir quais os pontos cuja reta tangente a tem a inclinação igual a , ou seja, os pontos onde
Passo 3
Agora, precisamos calcular o coeficiente da reta tangente a em um ponto . de forma que
Lembrando que a reta tangente é dada por:
E seu coeficiente angular é . Vamos começar calculando a derivada de . Como
Usando a regra da derivada de função polinomial, temos que:
então, pela regra e pela linearidade da derivada, temos que
Ou seja, o coeficiente angular de qualquer reta tangente ao gráfico de no ponto é dada por
Bacana né?
Passo 4
Descobrimos que o coeficiente angular da reta tangente precisa ser . O que implica que
Mas já calculamos no passo anterior. então temos que
Ou seja, temos pontos que satisfazem a igualdade
Então teremos duas retas tangentes a que são ortogonais a reta . Essas retas tangentes passam pelos pontos e
Vamos calcular essa reta.
Lembrando que a equação da reta tangente é:
e que
Substituindo , temos:
Isolando , obtemos
Substituindo , temos:
Isolando , obtemos
Então as retas tangentes ao gráfico de , e perpendicular a reta são as retas
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊