Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F x , y , z = x y e z i ^ + y z e x k ^

Passo 1

Para calcularmos o rotacional definido como ∇ × F ^

∇ × F ^ = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z F x F y F z = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

E para calcularmos o divergente ∇ ⋅ F → , fazemos

∇ ⋅ F → = d F x d x + d F y d y + d F z d z

Agora temos elementos para resolver o problema

Passo 2

  1. Vamos calcular o rotacional da F → dada
  2. ∇ × F ^ = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z x y e z 0 y z e x = d ( y z e x ) d y - d ( 0 ) d z i ^ + d ( x y e z ) d z - d ( y z e x ) d x j ^ + d 0 d x - d ( x y e z ) d y k ^

    ∇ × F → = z e x i ^ + x y e z - y z e x j ^ - x e z k ^

    Passo 3

  3. Agora calculando o divergente de F →

∇ ⋅ F → = d x y e z d x + d 0 d y + d y z e x d z = y e z + y e x = y ( e z + e x )

Resposta

∇ × F → = z e x i ^ + x y e z - y z e x j ^ - x e z k ^

∇ ⋅ F → = y ( e z + e x )

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