Enunciado

Determine a área da parte da superfície z = x 2 + y que está acima do triângulo com vértices 0,0 , 1,0 e 0,2 .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim

∂ z ∂ x = 2 x

∂ z ∂ y = 1

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + 2 x 2 + 1 2 d A = ∬ D 2 + 4 x 2 d A

A nossa região pode ser visualizada abaixo:

A região pode ser descrita como tanto do tipo I quanto do tipo II. Devido à presença de uma função de x ao quadrado dentro da raiz, a integral se torna mais fácil de ser resolvida se descrevermos a região como sendo do tipo I. Portanto,

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ - 2 x + 2

Passo 3

Agora, só nos basta aplicarmos os limites de integração e resolvermos a integral. Portanto,

A S = ∫ 0 1 ∫ 0 - 2 x + 2 2 + 4 x 2 d y d x

A S = ∫ 0 1 2 + 4 x 2 ⋅ y 0 - 2 x + 2 d x = ∫ 0 1 ( - 2 x + 2 ) 2 + 4 x 2 d x

A S = ∫ 0 1 - 2 x 2 + 4 x 2 d x + ∫ 0 1 2 2 + 4 x 2 d x

A S = - 1 6 ⋅ 2 + 4 x 2 3 / 2 0 1 + 2 ⋅ x 2 + 4 x 2 + senh - 1 ⁡ 2 x 2 0 1

A S = - 6 + 2 3 + 6 + senh - 1 ⁡ 2

A S = 2 3 + senh - 1 ⁡ 2

Resposta

A S = 2 3 + senh - 1 ⁡ 2

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Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - xd yd x
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 3 y 4 + x y 2 e acima da região limitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .
Calcule ∬ D 1 - x 2 - y 2 d A , onde D é o disco x 2 + y 2 ≤ 1 , identificando primeiro a integral como o volume de um sólido.
Desenhe o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das fronteiras da
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e fora do cilindro x 2 + y 2 = 4 .