Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.4 - Ex. 4
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
Passo 1
Para resolvermos esse exercício, vamos dividir as curvas em 3 e parametrizar cada uma delas. Para a segunda parte do exercício, iremos utilizar o teorema de Green para calcular a integral.
Passo 2
Inicialmente, vamos dividir a curva em 3, ficando com . Temos que uma propriedade das integrais de linha é
Assim, precisamos apenas parametrizar as curvas e calcular as integrais separadamente. Temos que a primeira curva, , podemos chamar e , com um intervalo . Precisamos de e também. Derivando, chegamos que e
podemos será a reta que vai de . Temos que é constante em 1 e apenas varia. Podemos fazer então que e , por se tratar de uma reta que vai de 1 até 0, será , onde e com e
Para será algo parecido a por se tratar também de uma reta com uma das componentes constantes. Assim, temos que e , onde e com e
Substituindo na integral agora, temos que
Calculando em primeiro, temos que
Será:
Para
Somando então, temos que nossa integral resulta em
Passo 3
Usando agora o teorema de Green, temos que
Calculando então a integral dupla, temos que