Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 70
(a) Se for convergente, mostre que
(b) Uma sequência é definida por e para . Supondo que é convergente, encontre seu limite.
Passo 1
(a) Beleza, pessoal? Pra provar que esses limites são iguais, vamos fazer uma troca de variáveis no limite:
Trocamos por novamente, pra provar o que queríamos, beleza?
Passo 2
(b) Pra encontrar o limite dessa sequência, a gente usa a relação de recorrência, tomando o seu limite:
Agora vamos usar o que provamos no item anterior:
Então,
Passo 3
Show! Pra ficar mais fácil de visualizar o que estamos fazendo, vamos denotar:
Então:
As raízes dessa equação quadrátrica são:
Como não é possível que a sequência tenha números negativos, então a gente elimina a raiz negativa e ficamos com:
Resposta
(b)
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