Enunciado

(a) Se a n for convergente, mostre que

l i m n → ∞   a n + 1 = l i m n → ∞ a n

(b) Uma sequência a n é definida por a 1 = 1 e a n + 1 = 1 1 + a n   para n ≥ 1 . Supondo que a n é convergente, encontre seu limite.

Passo 1

(a) Beleza, pessoal? Pra provar que esses limites são iguais, vamos fazer uma troca de variáveis no limite:

l i m n → ∞   a n + 1

n + 1 = m                     n → ∞ ⇒ m → ∞

l i m n → ∞   a n + 1 = a m = l i m n → ∞   a n  

Trocamos m por n novamente, pra provar o que queríamos, beleza?

Passo 2

(b) Pra encontrar o limite dessa sequência, a gente usa a relação de recorrência, tomando o seu limite:

a n + 1 = 1 1 + a n

l i m n → ∞   a n + 1 = l i m n → ∞   1 1 + a n

l i m n → ∞   a n + 1 = 1 1 + l i m n → ∞   a n

Agora vamos usar o que provamos no item anterior:

l i m n → ∞   a n + 1 = l i m n → ∞ a n

Então,

l i m n → ∞ a n = 1 1 + l i m n → ∞   a n

Passo 3

Show! Pra ficar mais fácil de visualizar o que estamos fazendo, vamos denotar:

l i m n → ∞ a n = L

Então:

L = 1 1 + L

L + L 2 = 1

L 2 + L - 1 = 0

As raízes dessa equação quadrátrica são:

L = - 1 ± 5 2

Como a 1 = 1 , não é possível que a sequência tenha números negativos, então a gente elimina a raiz negativa e ficamos com:

l i m n → ∞ a n = L = 5 - 1 2

Resposta

(b) l i m n → ∞ a n = 5 - 1 2

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