Enunciado

Use um gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, conjecture o valor do limite a partir do gráfico e então demonstre sua conjectura.

a n = 3 n + 5 n n

Passo 1

Pessoal, tudo certo por aí? Vem entender essa solução passo a passo:

A questão basicamente nos pede para traçar o gráfico da sequência e analisar através dele para que ponto nossa sequência vai convergir, caso haja a convergência.

Depois, para provar a convergência ou divergência da série, precisamos calcular o limite dela quando n → ∞ .

Para facilitar nossa análise, vamos usar propriedades da radiciação e da potenciação, que são operações presentes na nossa sequência, para simplificar nosso limite.

Passo 2

Galera, vamos primeiro traçar o gráfico dessa sequência (software: GeoGebra):

Aqui vemos que a sequência se aproxima cada vez mais de 5 quando n vai crescendo. Nossa conjectura inicial é que o limite da nossa sequência existe e é 5.

Vamos conferir!

Passo 3

Vamos primeiro simplificar nosso limite. A estratégia que vamos tomar aqui é a tentar tirar termos de dentro da raiz e simplificar os que não podermos tirar. Então, vamos colocar 5 n em evidência:

  3 n + 5 n n = 5 n 3 n 5 n + 1 n

Agora, nós podemos tirar o 5 para fora da raiz e rescrever nossa fração pela propriedade a n b n = a b n .

5 n 3 n 5 n + 1 n =   5   3 5 n + 1 n

Reescrevendo novamente, temos:

5   3 5 n + 1 n = 5 .   3 5 n + 1 1 n

Passo 4

Show! Agora vamos calcular o limite da sequência pra confirmar nossa hipótese, tá ok?

Assim, vemos que quando n → ∞ , nosso expoente 1 n tende a 0.

Como b 0 = 1   , teremos todo o termo que está multiplicando 5 igual a 1:

l i m n → ∞ 5 .   3 5 n + 1 1 n = l i m n → ∞ 5 .   1 = 5

Realmente, nossa hipótese estava certa!

Resposta

Sequência convergente

lim n → ∞ ⁡ a n = 5

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