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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?

a n = 2 n - 3 3 n + 4

Passo 1

Beleza, pessoal? Veja que 2 n está sendo somado ao numerador da fração de a n , mas 3 n está sendo somado ao denominador, então não dá pra saber se a fração aumenta ou diminui à medida que n cresce só olhando assim.

Vamos então tentar comparar a n + 1 e a n :

a n + 1 = 2 ( n + 1 ) - 3 3 ( n + 1 ) + 4 = 2 n + 2 - 3 3 n + 3 + 4 = 2 n - 1 3 n + 7

A gente supõe que a n + 1 > a n e vemos se é verdade:

2 n - 1 3 n + 7 > 2 n - 3 3 n + 4

2 n - 1 3 n + 4 > 2 n - 3 3 n + 7

6 n 2 + 8 n - 3 n - 4 > 6 n 2 + 14 n - 9 n - 21

- 4 > - 21

Como chegamos numa inequação verdadeira, então o que supomos é verdadeiro: a n + 1 > a n e portanto, a sequência é crescente.

Passo 2

Será que a sequência é limitada? Bom, o que limita a sequência inferiormente é o termo a 1 , pois a sequência é crescente, então é impossível ter algum número menor do que a 1   . Pra sabermos se ela também é limitada superiormente, temos que calcular o limite:

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   2 n - 3 3 n + 4 = l i m n → ∞   2 - 3 n 3 + 4 n = 2 - 0 3 + 0 = 2 3

Então é limitada superiormente por 2 3 .

Se ela é limitada inferiormente e superiormente, podemos dizer que é limitada, beleza?

Resposta

Crescente, limitada

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