Enunciado

Seja a n = 1 + 1 n n .

(a) Mostre que, se 0 ≤ a < b , então

b n + 1 - a n + 1 b - a < n + 1 b n

(b) Deduza que b n n + 1 a - n b < a n + 1 .

(c) Use a = 1 + 1 n + 1 e b = 1 + 1 n na parte (b) para mostrar que a n é crescente.

(d) Use a = 1 e b = 1 + 1 2 n na parte (b) para mostrar que a 2 n < 4 .

(e) Use as partes (c) e (d) para mostrar que a n < 4 para todo n .

(f) Use o Teorema 12 para mostrar que l i m n → ∞   1 + 1 n n existe. (O limite é e . Veja a Equação 3.6 . 6 , no Volume I .)

Passo 1

Fala galerinha! Aqui a gente tem uma sequência com o seguinte termo geral:

a n = 1 + 1 n n

E temos que provar mil coisas. Eu sei que esse enunciado tá meio assustador, mas vamos com calma e vamos conseguir.

Repara que pra valores positivos de n , a sequência vai ser sempre positiva. Já sabemos algo dela.

Agora vamos pro item (a)!

Passo 2

(a) Aqui queremos provar que, se 0 ≤ a < b , então

b n + 1 - a n + 1 b - a < n + 1 b n

Pra mostrar essa desigualdade, lembre-se dessa fatoração:

b n + 1 - a n + 1 = ( b - a ) ( b n + b n - 1 a + b n - 2 a 2 + … + b a n - 1 + a n )

Então, substituindo no numerador:

b n + 1 - a n + 1 b - a = ( b - a ) ( b n + b n - 1 a + b n - 2 a 2 + … + b a n - 1 + a n ) b - a

Simplificando ( b - a ) ficamos com:

b n + b n - 1 a + b n - 2 a 2 + … + b a n - 1 + a n

Como 0 ≤ a < b , vamos fazer uma jogada interessante. Vamos pegar essa expressão acima, trocar a por b , que é maior, e assim podemos dizer que:

b n + 1 - a n + 1 b - a < b n + b n - 1 b + b n - 2 b 2 + … + b b n - 1 + b n

Calma, não se assusta! Repara que esses produtos que se formaram do lado direito tem os expoentes casadinhos e tudo vai ficar b n :

b n + 1 - a n + 1 b - a < b n + b n + b n + … + b n

Repare também que são n + 1 termos b n , então:

b n + 1 - a n + 1 b - a < n + 1 b n

Show! Pronto! Provamos!

Passo 3

(b) Agora temos que deduzir que b n n + 1 a - n b < a n + 1 .

Bora usar a desigualdade que mostramos no item anterior?

b n + 1 - a n + 1 b - a < n + 1 b n

Jogando ( b - a ) pro outro lado:

b n + 1 - a n + 1 < b - a n + 1 b n

Aplicando a distributiva:

b n + 1 - a n + 1 < n b + b - a ( n + 1 ) b n

E jogando pra esquerda tudo que tem b :

b n + 1 - n b b n - b n + 1 + a n + 1 b n < a n + 1

E colocando b n em evidência:

b n a n + 1 - n b < a n + 1

Pronto!

Passo 4

(c) Use a = 1 + 1 n + 1 e b = 1 + 1 n na parte (b) para mostrar que a n é crescente.

Agora vamos substituir     a = 1 + 1 n + 1 e b = 1 + 1 n na desigualdade do item anterior, beleza?

b n a n + 1 - n b < a n + 1

1 + 1 n n 1 + 1 n + 1 n + 1 - n 1 + 1 n < 1 + 1 n + 1 n + 1

Mexendo dentro dos colchetes:

1 + 1 n n n + 1 + 1 - n - 1 < 1 + 1 n + 1 n + 1

1 + 1 n n < 1 + 1 n + 1 n + 1

Assim, provamos que a n é crescente, pois a n < a n + 1 .

Passo 5

(d) Use a = 1 e b = 1 + 1 2 n na parte (b) para mostrar que a 2 n < 4 .

Voltaremos a usar a desigualdade do item (b):

b n a n + 1 - n b < a n + 1

mas com a = 1 e b = 1 + 1 2 n :

1 + 1 2 n n 1 n + 1 - n 1 + 1 2 n < 1 n + 1

Dentro dos colchetes:

1 + 1 2 n n n + 1 - n - 1 2 < 1

1 + 1 2 n n 1 2 < 1

1 + 1 2 n n < 2

Como os dois lados são positivos, podemos elevar ao quadrado:

1 + 1 2 n 2 n < 4

a 2 n < 4

Passo 6

(e) Use as partes (c) e (d) para mostrar que a n < 4 para todo n .

Galera, no item (b) a gente viu que a n é crescente, então:

a n < a 2 n

pois n < 2 n . Mas, pelo item (d),

a 2 n < 4

Então:

a n < a 2 n < 4

Ou seja,

a n < 4

Passo 7

(f) Use o Teorema 12 para mostrar que l i m n → ∞   1 + 1 n n existe. (O limite é e . Veja a Equação 3.6 . 6 , no Volume I .)

Agora, olhando pro Teorema da Sequência Monótona, temos que toda sequência monótona limitada é convergente.

Já vimos que nossa sequência a n é monótona, pois é crescente.

Ela é limitada superiormente por 4 , pois vimos que a n < 4 e podemos tranquilamente dizer que ela é limitada inferiormente por 0 . Então ela é limitada. Logo, satisfaz as hipóteses do teorema, portanto é convergente, ou seja, o limite l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   1 + 1 n n

existe!

Resposta

Demonstrações.

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