Enunciado

Use um gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, conjecture o valor do limite a partir do gráfico e então demonstre sua conjectura.

a n = 1   .   3   .   5 … ( 2 n - 1 ) n !

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Pra gente esboçar um gráfico da sequência, vamos tentar reescrever ela rapidinho. Veja só, imagina um produto de números ímpares que para no 5 . Uma forma de escrever ele é:

1 ∙ 3 ∙ 5 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 2 ∙ 4 ∙ 6

1 ∙ 3 ∙ 5 = 6 ! 2 3 1 ∙ 2 ∙ 3

1 ∙ 3 ∙ 5 = 6 ! 2 3 ∙ 3 !

E se parasse no 7 ? Iamos ter:

1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 8

1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 8 ! 2 4 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4

1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 8 ! 2 4 ∙ 4 !

Portanto, podemos generalizar o produto de números ímpares para:

1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ … K = K + 1 ! 2 K + 1 2 ∙ K + 1 2 !

Como a nossa sequência é:

a n = 1   .   3   .   5 … ( 2 n - 1 ) n !

Temos que:

K = 2 n - 1

E logo:

a n = 2 n - 1 + 1 ! 2 2 n - 1 + 1 2 ∙ 2 n - 1 + 1 2 ! n ! = 2 n ! n ! ∙ 2 2 n 2 ∙ 2 n 2 ! = 2 n ! n ! ∙ 2 n ∙ n !

a n = 2 n ! 2 n ∙ n ! 2

Passo 2

Show, vamos testar alguns pontos então pra poder esboçar:

a 1 = 2 ! 2 ∙ 1 ! 2 = 1

a 2 = 4 ! 4 ∙ 2 ! 2 = 24 16 = 1,5

As contas vão ficar meio gigantes daqui em diante, mas te garanto que os próximos valores dão:

a 3 = 6 ! 8 ∙ 3 ! 2 = 2,5

a 4 = 8 ! 16 ∙ 4 ! 2 = 4,38

a 5 = 10 ! 32 ∙ 5 ! 2 = 7,88

a 6 = 12 ! 64 ∙ 6 ! 2 = 14,44

a 7 = 14 ! 128 ∙ 7 ! 2 = 26,81

a 8 = 16 ! 256 ∙ 8 ! 2 = 50,27

a 9 = 18 ! 512 ∙ 9 ! 2 = 94,96

a 10 = 2 0 ! 1024 ∙ 10 ! 2 = 180,43

Plotando o gráfico, temos:

Parece que nossa sequência apenas cresce cada vez mais, tendendo a infinito. Então ela diverge, beleza?

Resposta

Sequência divergente

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