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Exercícios Resolvidos de Adição, Subtração de Vetores e Lei dos Cossenos

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Exercício 201234567891011121314151617181921222324

Enunciado

USP, Sem Campus, Física 1, Coletâneas de Exercícios - Parte I - Cinemática, Leis de Newton, Trabalho e Energia, Questão 15f

Dado os vetores A → = 4 i → + 12 j → e B → = 4 i → - 3 j → + 2 k → , calcule:

f )   O ângulo entre os vetores A → e B → .

Passo 1

Faaaaaala pessoal, tudo beleza?

Nessa questão recebemos dois vetores:

A → = 4 i → + 12 j → B → = 4 i → - 3 j → + 2 k →

Sobre esses vetores, o enunciado vai nos pedir pra realizar algumas operações. Antes de realizá-las, vamos dar uma revisada em algumas propriedades que irão nos ajudar:

Se:

X → = x 1 i → + x 2 j → + x 3 k →

Y → = y 1 i → + y 2 j → + y 3 k →

Então:

i )   a X → = a x 1 i → + a x 2 j → + a x 3 k → ,           a ∈ R

i i )   X → ± Y → = x 1 ± y 1 i → + x 2 ± y 2 j → + x 3 ± y 3 k →  

i i i )   X → ⋅ Y → = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3

i v )   X → ⋅ Y → = X → ⋅ Y → ⋅ cos ⁡ θ

v )   X → = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2

Perfeito!

Nesse item precisamos calcular o ângulo entre os vetores A → e B → .

Agora que demos essa revisada vamos lá, mãos à obra!

Passo 2

Bom, se analisarmos as propriedades i i i ) e i v ) podemos escrever:

x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = X → ⋅ Y → ⋅ cos ⁡ θ

Logo:

cos ⁡ θ = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 X → ⋅ Y →

onde θ é o ângulo entre X → e   Y → .

Como:

A → = 4 i → + 12 j → B → = 4 i → - 3 j → + 2 k →

Vamos ter:

A → ⋅ B → = 4 ⋅ 4 + 12 ⋅ - 3 + 0 ⋅ 2

= - 20

Vamos agora calcular os módulos de | A → | e B → .

como:

A → = 4 i → + 12 j →

Temos:

A → = 4 2 + 12 2 + 0 2

= 12,65

E, como:

B → = 4 i → - 3 j → + 2 k →

Temos:

B → = 4 2 + - 3 2 + 2 2

= 5,39

Excelente!

Passo 3

Juntando todas essas informações na expressão que desenvolvemos para θ , temos:

cos ⁡ θ = - 20 12,65 ⋅ 5,39

Então:

cos ⁡ θ = - 0,3

Aplicando a função inversa do cosseno, isto é, arco-cosseno, temos:

θ = arccos ⁡ 0,3

= 72,5 °

Esse é o ângulo entre A → e B → .

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

72,5 °

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