Exercícios Resolvidos de Adição, Subtração de Vetores e Lei dos Cossenos

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Enunciado

Você deve programar um braço robótico em uma linha de montagem para mover no plano x y . Seu primeiro deslocamento é A → ; seu segundo deslocamento é B → de magnitude 6.40   c m e direção 63.0 ° medido no sentido do eixo + x para o eixo - y . O vetor resultante C → =   A → +   B → dos dois deslocamentos também deve ter uma magnitude de 6.40   c m , mas uma direção 22.0 ° medida no sentido do eixo + x da direção do eixo + y .

(a) Desenhe o diagrama de soma vetorial para esses vetores, com a escala aproximada.

(b) Encontre os componentes de A → .

(c) Encontre a magnitude e a direção de A → .

Passo 1

Oii gente linda, tudo bem com vocês?? Bora pra mais uma?

Bom o enunciado nos descreve como o braço robótico se desloca ao longo do plano x y . Já na letra (a) nos é solicitado o esboço desses vetores no plano. Então vamos ter que posicionar esses vetores de modo que o vetor C → represente a soma vetorial dos vetores   A → e B → . A princípio vamos posicionar os vetores B → e C → como o enunciado descreve, em seguida, vamos utilizar a regra do paralelogramo para estimar a direção e o sentido do vetor   A → .

Logo,

Passo 2

Já na letra (b) temos que encontrar as componentes do vetor   A → . E como poderemos fazer isso???

Vamos começar escrevendo a soma vetorial que o enunciado nos forneceu em relação a cada um dos eixos. Começando pelo eixo x :

C → x =   A → x +   B → x

Belezinha, temos até então a magnitude e a direção dos vetores B → e C → , entretanto, ainda não temos suas respectivas projeções para o eixo x . Para encontrarmos essas projeções vamos ter que lembrar de algumas funções trigonométricas.

Como o vetor e suas componentes se rearranjam formando um triângulo retângulo assim como ilustrado na imagem acima concluímos que as projeções de C → podem ser dadas por:

C → x =   | C → |   ⋅   c o s   22 °

e

⁡ C → y   =   | C → |   ⋅   s e n   22 °  

Após realizar o mesmo procedimento para o vetor B → reescrevemos a nossa soma vetorial da seguinte forma:

| C → | ⋅ c o s   22 ° = A → x +   |   B → | ⋅ c o s c o s   63   °

Substituindo agora com os valores correspondentes,

6.40 ⋅ 0,927 = A → x + 6.40 ⋅ ( 0,453 )  

A → x = 3.03   c m

Passo 3

Agora vamos seguir os mesmos procedimentos do passo anterior para projetar as componentes em relação ao eixo y :

⁡ C → y =   A → y +   B → y

|   C →   | ⋅ s e n   22 ° = A → y -   |   B →   | ⋅ s e n   63   °

6.40 ⋅ 0,374 = A → y - 6.40 ⋅ ( 0,891 )  

A → y =   8.09   c m

Passo 4

Já temos as componentes de A → e como já vimos no passo 1, que o vetor sempre forma um triângulo retângulo com suas componentes. Logo, para encontrarmos a magnitude do vetor em questão basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras da seguinte forma:

A → = A → x 2 + A → y 2

A → = 3.03   N 2 + 8.09   N 2

A → = 8.64   c m

E por fim para conseguirmos encontrar a direção em que se encontra este vetor vamos ter que descobrir qual é o ângulo que esse vetor faz com o eixo x . O legal aqui é que essa ideia de localizar a direção a partir de ângulos, é a base do sistema de localização de aeronaves, submarinos, entre outros.

Observando a imagem acima temos que :

t g   β = A → y A → x

t g   β = 8.09   c m 3.03   c m  

t g   β = 2.67

Tá, e agora??? Como poderemos chegar no valor do ângulo em questão a partir da sua tangente???

Vamos utilizar a função inversa da função tangente, ou seja, a função arco-tangente:

β = a r c t g ( 2.67 )

β = 69,5 °  

Prontos agora achamos o nosso ângulo! Perfeito :)

Então nessa questão aprendemos a esboçar vetores, vimos também como encontrar um vetor a partir de uma soma vetorial e já no finalzinhoooo utilizamos alguns artifícios fundamentais para encontrar a magnitude e a direção de um vetor inicialmente desconhecido. Showw?!!

Bons Estudos!

Resposta

a)

b)

A → x = 3.03   c m e A → y =   8.09   c m

c)

Magnitude : A → = 8.64   c m

Direção: 69,5 ° em relação ao eixo x

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