Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 1 ⁡ 3 1 - x 2 - 2 ( 1 - x 3 ) ( 1 - x 3 ) ( 1 - x 2 )

Passo 1

Substituindo x por 1 na expressão do limite, o denominador vai a zero. Por isso precisamos encontrar uma maneira de sair dessa indeterminação e encontrar o valor desse limite. Vamos tentar o mais simples, fazer a distributiva em cima.

lim x → 1 ⁡ 3 1 - x 2 - 2 ( 1 - x 3 ) ( 1 - x 3 ) ( 1 - x 2 ) = lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - 3 x 2 + 1 ( 1 - x 3 ) ( 1 - x 2 )

A principio parece que isso não ajudou muito, mas repare que uma das raízes do polinômio 2 x 3 - 3 x 2 + 1 é 1 e com isso, podemos dividir esse polinômio por ( x - 1 ) . O resultado é

2 x 2 - x - 1

Ora, esse é um polinômio do segundo grau fácil de fatorar, fica assim:

( 2 x + 1 ) ( x - 1 )

Então, por fim, temos que

2 x 3 - 3 x 3 + 1 = x - 1 x - 1 2 x + 1 = x - 1 2 ( 2 x + 1 )

E o limite fica assim:

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 ( 2 x + 1 ) ( 1 - x 3 ) ( 1 - x 2 )

Passo 2

Agora vamos tentar abrir os polinômios do denominador pra tentar cortar com alguma coisa do numerador. Começando pelo 1 - x ² , perceba que ele é um produto notável que pode ser escrito da seguinte maneira

( 1 - x ) ( 1 + x )

Já o polinômio 1 - x ³ possui raiz igual a 1 , logo, dividindo-o por x - 1 obtemos

- x 2 - x - 1

Passo 3

Então, reescrevendo o limite temos o isso aqui:

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 ( 2 x + 1 ) ( x - 1 ) ( - x 2 - x - 1 ) ( 1 - x ) ( 1 + x )

Cortando o x - 1 de cima com o de baixo sobra

lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( - x 2 - x - 1 ) ( 1 - x ) ( 1 + x )

Agora cortando o x - 1 de cima com o 1 - x de baixo ficamos com

lim x → 1 ⁡ ( 2 x + 1 ) - ( - x 2 - x - 1 ) ( 1 + x ) = lim x → 1 ⁡ ( 2 x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ( 1 + x )

Passo 4

Agora que não tem mais nada pra cortar, vamos tentar substituir x por 1 na nova expressão que encontramos.

lim x → 1 ⁡ ( 2.1 + 1 ) ( 1 2 + 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 3 6 = 1 2

Resposta

1 2  

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4