a) Calcule o limite

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 2 x 2 + 7 x + 3

Passo 1

Opa, vamos lá. A primeira cosia que a gente tem que tentar fazer é substituir e ver o que que dá. Vamos lá então:

- 3 2 - 9 2 - 3 2 + 7 - 3 + 3 = 9 - 9 18 - 21 + 3 = 0 0

Puts, não deu certo! Deu uma indeterminação. Então vamos precisar reescrever esse limite da forma:

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 2 x 2 + 7 x + 3 = lim x → - 3 ⁡ x + 3 … 1 x + 3 … 2 = lim x → - 3 ⁡ … 1 … 2

Afinal, já sabemos que x = - 3 é raiz do polinômio do numerador e do denominador. Vamos achar … 1 e … 2 então.

Passo 2

Achando … 1

Começando pelo numerador, dá uma olhada boa nele:

x 2 - 9

Não é que ele é uma diferença de quadrados?

x 2 - 9 = x 2 - 3 2

Um produto notável que envolve diferença de quadrados é o seguinte:

x 2 - a 2 = x - a x + a

Se nesse caso a = 3 , temos:

x 2 - 9 = x - 3 x + 3

E prontinho, achamos … 1 , saca só:

x 2 - 9 = x + 3 … 1

x 2 - 9 = x - 3 x + 3

x + 3 … 1 = x - 3 x + 3

… 1 = x - 3

Passo 3

Achando … 2

Aqui a ideia muda um pouco, porque não temos mais uma diferença de quadrados apesar de o polinômio do denominador ser de segundo grau também. Ok, mas ainda assim dá pra gente tirar de letra. Como? Usando a famosa e querida fórmula de Bháskara. Saca só, se temos:

a x 2 + b x + d

Podemos reescrever para

a x - x 1 x - x 2

Onde x 1,2 são as raízes do polinômio, dadas por:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Nesse caso, temos:

a = 2 b = 7 c = 3

Então temos:

x 1,2 = - 7 ± 7 2 - 4.2 . 3 2.2 = - 7 ± 49 - 24 4

x 1,2 = - 7 ± 25 4 = - 7 ± 5 4  

x 1,2 = - 7 + 5 4 = - 1 2 - 7 - 5 4 = - 3

O polinômio de segundo grau fica:

2 x 2 + 7 x + 3 = 2 x + 3 x + 1 2

E foi-se … 2 também, saca só:

2 x 2 + 7 x + 3 = x + 3 … 2

2 x 2 + 7 x + 3 = 2 x + 3 x + 1 2

x + 3 … 2 = 2 x + 3 x + 1 2

… 2 = 2 x + 1 2 = 2 x + 1

Passo 4

Calculando o limite

Agora é só calcular o limite mesmo. Se:

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 2 x 2 + 7 x + 3 = lim x → - 3 ⁡ x + 3 … 1 x + 3 … 2 = lim x → - 3 ⁡ … 1 … 2

E

… 1 = x - 3

… 2 = 2 x + 1

O limite fica:

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 2 x 2 + 7 x + 3 = lim x → - 3 ⁡ x - 3 2 x + 1

Dessa vez se substituirmos não vai ter indeterminação e vamos conseguir calcular o limite! Então vambora calcular:

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 2 x 2 + 7 x + 3 = lim x → - 3 ⁡ x - 3 2 x + 1 = - 3 - 3 2 - 3 + 1

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 2 x 2 + 7 x + 3 = - 6 - 5 = 6 5

Resposta

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 2 x 2 + 7 x + 3 = 6 5

Exercícios de Livros Relacionados

Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4