Calcule o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ x - x x 2 + x

Passo 1

Vamos substituir o ponto do limite para começar: lim x → 0 ⁡ x - x x 2 + x = 0 0  

Que é uma indeterminação. Então vamos manipular o limite para tentar chegar no resultado.

Passo 2

Como temos um módulo no limite e a expressão do módulo muda à esquerda e à direita do ponto do limite, é interessante usar os limites laterais. Se os limites laterais forem iguais, o limite existe, caso contrário, não existe. Então vamos lá: lim x → 0 - ⁡ x - x x 2 + x = ? ?

lim x → 0 + ⁡ x - x x 2 + x = ? ?

Vamos começar pelo limite lateral pela esquerda. Para valores menores que zero, pela definição do x , x = - x , assim, substituindo: lim x → 0 - ⁡ x - x x 2 + x = lim x → 0 - ⁡ x - - x x 2 + x = lim x → 0 - ⁡ 2 x x 2 + x

Simplificando:

lim x → 0 - ⁡ 2 x x 2 + x = lim x → 0 - ⁡ 2 x + 1 = 2 1 = 2

Show. Agora vamos calcular o limite lateral pela direita. Para x > 0 , x = x , assim:

lim x → 0 + ⁡ x - x x 2 + x = lim x → 0 + ⁡ x - x x 2 + x = l i m x → 0 + x 1 - 1 x 2 + x

Simplificando: l i m x → 0 + x 1 - 1 x 2 + x = l i m x → 0 + 1 - 1 x + 1 = 0 1 = 0

Veja que os limites laterais são distintos, logo, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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