Calcule os seguintes limites:

l i m x → 3   x - 3 x - 3

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

Temos a expressão x - 3 x - 3 , e queremos calcular o limite dessa expressão quando x se aproxima de 3. Matematicamente, escrevemos isso da seguinte forma:

l i m x → 3   x - 3 x - 3

Passo 2

Para evitar uma indeterminação (0/0) no limite, vamos fatorar o numerador e o denominador:

( ( √ x   -   √ 3 )   /   ( x   -   3 ) )   *   ( ( √ x   +   √ 3 )   /   ( √ x   +   √ 3 ) )

A multiplicação pelo conjugado permite eliminar a raiz no numerador:

( ( √ x   -   √ 3 )   *   ( √ x   +   √ 3 ) )   /   ( ( x   -   3 )   *   ( √ x   +   √ 3 ) )

Podemos aplicar a fórmula da diferença de quadrados (a² - b² = (a + b)(a - b)) para simplificar o numerador:

( √ x   -   √ 3 )   *   ( √ x   +   √ 3 )   =   ( √ x ) ²   -   ( √ 3 ) ²   =   x   -   3

Agora simmmmm podemos simplificar a expressão:

( x   -   3 )   /   ( ( x   -   3 )   *   ( √ x   +   √ 3 ) )

Passo 3

Agora, podemos cancelar o fator comum "(x - 3)" no numerador e no denominador:

1   /   ( √ x   +   √ 3 )

Agora podemos substituir o valor de x na expressão 1 / (√x + √3) e avaliar o resultado. Nesse caso, vamos substituir x por 3:

1   /   ( √ 3   +   √ 3 )   =   1   /   ( 2 √ 3 )

Para simplificar o resultado, podemos racionalizar o denominador multiplicando tanto o numerador quanto o denominador por (√3 - √3):

1   /   ( 2 √ 3 )   *   ( √ 3   -   √ 3 )   /   ( √ 3   -   √ 3 )   =   ( √ 3   -   √ 3 )   /   ( 2 √ 3   *   ( √ 3   -   √ 3 ) )

O termo (√3 - √3) no numerador é igual a zero, e o termo (√3 - √3) no denominador também é zero. Portanto, a expressão final é:

1   /   ( 2 √ 3 )   =   √ 3   /   6

Passo 4

Após avaliar a expressão, chegamos ao resultado:

l i m x → 3   x - 3 x - 3 = √ 3   /   6  

Portanto, o limite de (√x - √3) / (x - 3) conforme x se aproxima de 3 é igual a √3 / 6. Isso significa que, à medida que x se aproxima de 3, a expressão (√x - √3) / (x - 3) se aproxima de √3 / 6.

Resposta

√ 3   /   6

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