1) Calcule os seguintes limites (Não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):

b)

lim t → 2 ⁡ 6 - t - 2 1 - 3 - t

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bora resolver esse limite juntinhos?

Bom, essa questão deu pra gente um limite para calcular e a primeira coisa que fazemos quando precisamos calcular um limite de uma função é tentar substituir o valor da variável pela sua tendência.

A função que queremos calcular o limite é

6 - t - 2 1 - 3 - t

O limite é quando t tente a 2 . Isso fica indicado na parte de baixo do limite como t → 2 .

Então vamos tentar substituir esse valor diretamente na função e ver se conseguimos calcular esse limite.

Vem comigo que te ajudo com isso!

Passo 2

Como o limite que queremos calcular é

lim t → 2 ⁡ 6 - t - 2 1 - 3 - t

E temos:

lim t → 2 ⁡ f ( t ) = f 2 = 6 - t - 2 1 - 3 - t

E ficamos com:

lim t → 2 ⁡ 6 - t - 2 1 - 3 - t = 6 - 2 - 2 1 - 3 - 2

Resolvendo:

6 - 2 - 2 1 - 3 - 2 = 4 - 2 1 - 1 = 2 - 1 1 - 1 = 0 0

Opaaaaa!!!

Isso aí não pode, não!!!

Ao fazermos essa substituição na maior ingenuidade do mundo, a função trapaceou a gente e caiu em uma indeterminação do tipo

0 0

Mas calma, vamos precisar de uns detalhes a mais pra provar que somos mais espertos que ela. Segura a minha mão e só vem!

Passo 3

Vamos recomeçar a brincadeira mexendo um pouco na função pra deixá-la mais bonita e evitar que ela caia nessa indeterminação de novo. Pra isso, vamos racionalizar o denominador da função multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado do denominador.

6 - t - 2 1 - 3 - t ⋅ 1 + 3 - t 1 + 3 - t

Ao fazermos isso, já te adianto que cairemos novamente em uma indeterminação. Pois ficaremos com:

6 - t + 6 - t ⋅ 3 - t - 2 - 2 3 - t 1 2 - 3 - t 2

6 - t + 6 - t ⋅ 3 - t - 2 - 2 3 - t 1 - ( 3 - t )

E aplicando o limite, ficamos com:

6 - 2 + 6 - 2 ⋅ 3 - 2 - 2 - 2 3 - 2 1 - ( 3 - 2 )

4 + 4 ⋅ 1 - 2 - 2 1 1 - ( 1 )

2 + 2 ⋅ 1 - 2 - 2 1 - 1 = 0 0

Viu, eu avisei!!! Mas vamos tentar mais um pouco. Vamos pegar o conjugado do numerador também pra multiplicar em cima e embaixo. Vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 4

E com um pouquinho mais de paciência, teremos:

6 - t - 2 1 - 3 - t ⋅ 1 + 3 - t 1 + 3 - t ⋅ 6 - t + 2 6 - t + 2

Agora sim. Ficaremos com esse limite aqui pra calcular:

lim t → 2 ⁡ 6 - t 2 - 2 2 1 2 - 3 - t 2 ⋅ 1 + 3 - t 6 - t + 2

Que ajeitando fica:

lim t → 2 ⁡ 6 - t - 4 1 - ( 3 - t ) ⋅ 1 + 3 - t 6 - t + 2

lim t → 2 ⁡ 2 - t t - 2 ⋅ 1 + 3 - t 6 - t + 2

Não gostou, né. Sei que você deve estar pensando que vai cair em uma indeterminação novamente, mas calma. Repare na primeira fração que temos ali:

2 - t t - 2

Por definição, t - 2 ≠ 0 , pois o t tende a 2 , mas ele nunca será, de fato, 2 . Então essa fração terá resultado igual a:

2 - t t - 2 = - 1

Parece bruxaria, mas juro que você pode fazer isso, porque o t nunca será 2 de verdade! Então vamos usar nossos poderes pra encaixar esse resultado no nosso limite e seguir o baile com o que sobrou.

Assim:

lim t → 2 ⁡ - 1 ⋅ 1 + 3 - t 6 - t + 2

Substituindo t , teremos:

- 1 ⋅ 1 + 3 - 2 6 - 2 + 2 =

- 1 ⋅ 1 + 1 4 + 2

- 1 ⋅ 1 + 1 2 + 2 = - 1 ⋅ 2 4 = - 1 2

E finalmente poderemos falar que:

lim t → 2 ⁡ 6 - t - 2 1 - 3 - t = - 1 2

E prontinho! Encontramos nossa resposta!

Resposta

lim t → 2 ⁡ 6 - t - 2 1 - 3 - t = - 1 2

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