iii) Sem utilizar a regra de L’Hospital calcule os seguintes limites

lim x → 4 ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4

Passo 1

Opa, vamos lá. A primeira cosia que a gente tem que tentar fazer é substituir e ver o que que dá. Vamos lá então:

4 2 - 4 4 4 2 - 3 4 - 4 = 16 - 16 16 - 12 - 4 = 0 0

Puts, não deu certo! Deu uma indeterminação. Então vamos precisar reescrever esse limite da forma:

lim x → 4 ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x - 4 … 1 x - 4 … 2 = lim x → 4 ⁡ … 1 … 2

Afinal, já sabemos que x = 4 é raiz do polinômio do numerador e do denominador. Vamos achar … 1 e … 2 então.

Passo 2

Achando … 1 e … 2

Começando pelo numerador, dá uma olhada boa nele:

x 2 - 4 x

Se tem uma coisa que esses dois termos tem em comum é x ! Então, se colocarmos ele em evidência, temos:

x 2 - 4 x = x x - 4

E prontinho, achamos … 1 , saca só:

x 2 - 4 x = x - 4 … 1

x 2 - 4 x = x x - 4

Temos então:

x - 4 … 1 = x x - 4

… 1 = x

Agora pro denominador, temos:

x 2 - 3 x - 4

Eta, perai, um polinômio de segundo grau? Issai cheira à resolução por Bháskara em! Nesse caso, seja:

a x 2 + b x + d

Podemos reescrever para

a x - x 1 x - x 2

Onde x 1,2 são as raízes do polinômio, dadas por:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Temos então:

a = 1 b = - 3 c = - 4

As raízes vão ser então:

x 1,2 = - - 3 ± - 3 2 - 4 . 1 . - 4 2 . 1 = 3 ± 9 + 16 2

x 1,2 = 3 ± 25 2 = 3 ± 5 2  

x 1,2 = 3 + 5 2 = 4 3 - 5 2 = - 1

O polinômio de segundo grau fica:

x 2 - 3 x - 4 = x - 4 x + 1

E foi-se … 2 também, saca só:

x 2 - 3 x - 4 = x - 4 … 2

x 2 - 3 x - 4 = x - 4 x + 1

Juntando as duas equações

x - 4 … 2 = x - 4 x + 1

… 2 = x + 1

Passo 3

Calculando o limite

Agora que achamos … 1 tanto quanto … 2 , só calcular o limite:

lim x → 4 ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4 = lim x → 4 ⁡ … 1 … 2

lim x → 4 ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x x + 1

Po, o segundo limite é bem menor né? E veja bem! Se substituirmos não vamos achar indeterminação alguma:

lim x → 4 ⁡ x x + 1 = 4 4 + 1 = 4 5

Fechou então! O limite vai ser, enfim:

lim x → 4 ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4 = 4 5

Resposta

lim x → 4 ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4 = 4 5

Exercícios de Livros Relacionados

Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4