A1 T24 A3 T10
Considere as seguintes afirmações:
- O núcleo e o espaço linha de uma matriz real são subespaços do e a soma de suas dimensões é igual a .
- O espaço linha e o espaço coluna de qualquer matriz real são subespaços, respectivamente, do e do , e suas dimensões são iguais.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
A afirmativa é verdadeira e é falsa
A afirmativa é verdadeira e é verdadeira
A afirmativa é falsa e é verdadeira
A afirmativa é falsa e é falsa
Passo 1
Afirmativa
Galera, pra resolver essa questão é essencial que você se lembre do seguinte:
E que:
Por que isso? Porque repara que essa afirmativa trata do núcleo da nossa matriz e do seu espaço linha! Mas o espaço linha é justamente o espaço coluna da transposta! Ou seja, sua imagem.
Como a matriz é ela é , ou seja, o núcleo está no . A transposta será , , então sua imagem estará também no . Então a primeira parte da afirmativa ta certinha.
A segunda parte diz que a soma de suas dimensões é igual a , e de fato sabemos que a soma de um espaço e seu complemento ortogonal é direta! Ou seja, eles formam todo o espaço em que estão contidos, no caso o . E como um é complemento do outro então a soma de suas dimensões será igual a !
Então essa afirmativa é verdadeira.
Passo 2
Afirmativa
Essa questão já sai dessa história de complemento ortogonal e volta lá pro começo da matéria haha.
Nossa matriz é , então a imagem (espaço coluna) está no . Já o espaço linha (imagem da transposta) fica no . Então a primeira parte da afirmação está correta!
A segunda parte diz que as dimensões delas são iguais, e nós sabemos que isso é verdade! O espaço linha e o espaço coluna de uma matriz terão sempre a mesma dimensão!!!
Resposta
Letra