Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Seja A uma matriz quadrada, v → , um vetor não-nulo tal que A v → = 0 e w = A T v → . Qual dos vetores abaixo não pertence à imagem de A T , a matriz transposta de A ?

( a ) 0 →

( b ) A v →

( c ) v →

( d ) A w →

Passo 1

Se liga galera, temos transposta e imagem no mesmo enunciado! Então é quase certeza que teremos que usar alguma dessas relações:

N u c A = I m A T ⊥   e   I m A T = N u c A ⊥

N u c A T = I m A ⊥   e   I m A = N u c A T ⊥

Vamos pegar as informações do enunciado agora:

A v → = 0 ⇒ v → ∈ N A

w = A T v → ⇒ w ∈ I m A T

Agora vamos tentar reescrever isso com as nossas relações:

v → ∈ N A ⇒ v → ∈ I m A T ⊥

w ∈ I m A T ⇒ w ∈ N u c A ⊥

Opa, olha aquela primeira ali, v → ∈ I m A T ⊥ . Se o nosso vetor v → pertence ao complemento ortogonal da imagem de A T , ele não vai pertencer à imagem de A T concorda? Porque só o vetor nulo poderia estar em um espaço e no seu ortogonal ao mesmo tempo e a questão nos diz no início que ele é não nulo.

Resposta

Letra ( c )