Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Seja A uma matriz m × n e considere as afirmativas.

(I) Para todo u ∈ R n existem u 0 ∈ N A e v ∈ R m tais que u = u o + A T v .

(II) Para todo v ∈ R m existem únicos vetores v o ∈ I m A e v 1 ∈ R m tais que v = v 0 + v 1 e A T v 1 = 0

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

Pra resolver essa questão, vamos lembrar do seguinte

Se temos uma matriz A m × n , então o núcleo da matriz A é igual ao complemento ortogonal da imagem da transposta:

N u c A = I m A T ⊥

E o núcleo da transposta é igual ao complemento ortogonal da imagem:

N u c A T = I m A ⊥

Vamos entender o que isso tem a ver com essa questão.

Passo 2

(I) Para todo u ∈ R n existem u 0 ∈ N A e v ∈ R m tais que u = u o + A T v .

Os vetores u ∈ R n são os vetores que pertencem ao espaço cuja dimensão é igual ao número de colunas de A.

Então essa afirmação diz então que esses vetores são gerados pelo núcleo da matriz A e pela imagem de A (pois A T v ,   v ∈ R m é a mesma coisa que o espaço gerado pelas colunas de A).

Usando que:

N u c A = I m A T ⊥

Então o que essa afirmação tá dizendo é que na verdade podemos gerar todos os vetores do R n a partir da imagem de A e do complemento ortogonal dela.

E isso é verdadeiro.

Passo 3

(II) Para todo v ∈ R m existem únicos vetores v o ∈ I m A e v 1 ∈ R m tais que v = v 0 + v 1 e A T v 1 = 0

Repara que quando fazemos

A T v 1 = 0

Estamos achando o núcleo da transposta, beleza? Porque estamos achando as soluções do sistema homogêneo.

Então a afirmação tá falando que os vetores do R m são gerados pela imagem de A e pelo núcleo da transposta de A.

Mas vimos no Passo 1 que o núcleo da transposta de A é igual ao complemento ortogonal da imagem de A.

Então temos que os vetores do R m   são gerados pela imagem de A e pelo complemento ortogonal da imagem de A, o que é verdadeiro, como vimos antes.

Resposta

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.