Seja A uma matriz e considere as afirmativas.
(I) Para todo existem e tais que
(II) Para todo existem únicos vetores e tais que e
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
Pra resolver essa questão, vamos lembrar do seguinte
Se temos uma matriz A então o núcleo da matriz A é igual ao complemento ortogonal da imagem da transposta:
E o núcleo da transposta é igual ao complemento ortogonal da imagem:
Vamos entender o que isso tem a ver com essa questão.
Passo 2
(I) Para todo existem e tais que
Os vetores são os vetores que pertencem ao espaço cuja dimensão é igual ao número de colunas de A.
Então essa afirmação diz então que esses vetores são gerados pelo núcleo da matriz A e pela imagem de A (pois é a mesma coisa que o espaço gerado pelas colunas de A).
Usando que:
Então o que essa afirmação tá dizendo é que na verdade podemos gerar todos os vetores do a partir da imagem de A e do complemento ortogonal dela.
E isso é verdadeiro.
Passo 3
(II) Para todo existem únicos vetores e tais que e
Repara que quando fazemos
Estamos achando o núcleo da transposta, beleza? Porque estamos achando as soluções do sistema homogêneo.
Então a afirmação tá falando que os vetores do são gerados pela imagem de A e pelo núcleo da transposta de A.
Mas vimos no Passo 1 que o núcleo da transposta de A é igual ao complemento ortogonal da imagem de A.
Então temos que os vetores do são gerados pela imagem de A e pelo complemento ortogonal da imagem de A, o que é verdadeiro, como vimos antes.
Resposta
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.