Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Seja A a matriz da projeção ortogonal no conjunto-solução do sistema:

x + y + z = 0 y + z + w = 0 z + w + r = 0

Qual a Dimensão de I m A T ?

(a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) 1

Passo 1

Bom, vamos ver qual a dimensão do espaço que estamos projetando. Primeiro vou passar para a forma matricial:

1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0

Olha que beleza, já ta na forma escalonada! Então temos 3 equações L I .

O espaço que estamos projetando vai ser a imagem da nossa matriz, assim, dim ⁡ I m A = 3 .

Passo 2

Queremos saber dim ⁡ ( I m A T ) , podemos usar o fato de que:

I m A = N u c A T ⊥

Assim, dim ⁡ N u c A T ⊥ = 3 , como esse espaço está no R 5 o seu complemento ortogonal vai ter dimensão 2.

dim ⁡ N u c A T = 2

Assim, pelo TNI, podemos achar a dimensão da imagem de A T como queremos!

dim ⁡ ( I m A T ) + dim ⁡ ( N u c   A T ) = 5

dim ⁡ ( I m A T ) = 5 - 2 = 3

Beleza? :D

Resposta

Letra b