10. O conjunto imagem da função é igual a
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós precisamos indicar o conjunto imagem, mas antes disso temos que ver qual o domínio da função!
O domínio são os valores que pode assumir, então vamos olhar pra nossa função. Note que temos uma raiz par, ou seja, temos uma restrição: o argumento da raíz deve ser maior ou igual a zero. Ou seja,
Bora ver onde esse domínio está definido!
Passo 2
Resolvendo a nossa inequação, temos que
Ou seja, para ela ser verdadeira, temos que:
E que:
Ou seja, nosso domínio é , mas precisamos achar a nossa imagem. Então vamos colocar esses valores extremos na equação.
Passo 3
Temos que
Para ficamos com
Como sabemos que a nossa função é sempre positiva, então vai ser o nosso ponto mínimo.
Agora precisamos achar o valor máximo.
Passo 4
Para isso, temos que descobrir onde o nosso argumento atinge o valor máximo,. Então vamos olhar pra nossa equação. A gente tem a raiz quarta de uma função de segundo grau, ou seja, uma parábola. ou seja, valor médio entre e , pois nSendo que nosossa função quadradica é simétrica, então sua raiz quarta também vai ser... E seu ponto máximo será seu vértice!
Se as raízes da função quadrática são e , seu ponto máximo é o valor médio entre e . . Logo vamos fazer ,
Ou seja, nosso conjunto imagem está em .