Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

Dados x   e   y   e m   R n   com y   ≠   0 . Considere o escalar α   = < x | y > / | y | 2 . Mostre que o vetor z   =   x   −   α y é ortogonal a y .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão Teórica de Cálculo. Essa questão é bem bacana!!!! Vamos resolvê-la

Nosso objetivo é mostrar que o vetor z   =   x   −   α y é ortogonal a y onde α   = < x | y > / | y | 2 .

Passo 2

Bem, vamos começar pensando na condição para que dois vetores sejam ortogonais. Lembram?

Precisamos que

< w , g > = 0

Usando isso, temos:

< z , y > =   < y ,   x   −   α y >

usando a linearidade do produto interno

< y ,   x   −   α y > = < y ,   x > - α < y ,   y >

Usando que α   = < x , y > / | y | 2

< y ,   x > - α < y ,   y > = < y ,   x >   -   < x ,   y >

= 0

Pela simetria do produto interno.

Dessa forma, concluímos que o vetor z   =   x   −   α y é ortogonal a y .

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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