Calcule d y d x para as funções dadas a seguir:

f) y ( x ) = 1 x 3 - x

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão pede para a gente calcular a derivada da função y(x) em relação à x. Bem, a gente sabe que a derivada é uma operação linear. Então, a derivada de uma soma de funções é simplesmente a soma das derivadas das funções

f ( x ) = h ( x ) + g ( x )   ⇒   d f ( x ) d x = d d x ( g ( x ) + h ( x ) ) = d g ( x ) d s + d h ( x ) d x

Além disso, por ser uma operação linear, a derivada de uma função de x vezes uma constante, que por ser constante não depende da variável x, é simplesmente a constante vezes a derivada da função

f ( x ) = a × g ( x )   ⇒   d f ( x ) d x = d ( a × g ( x ) ) d x = a × d g ( x ) d x

Então, com essas informações sobre a operação de derivação, podemos calcular a derivada da nossa função. Então vamos lá!

Passo 2

A função y ( x ) que a gente quer derivar é dada pela soma de duas funções: g ( x ) = 1 x 3 = x - 1 3 e h ( x ) = - x . Então, a derivada d y d x será simplesmente a soma das derivadas de g e de h. Como a derivada uma função do tipo x n é dada por:

d x n d x = n × x ( n - 1 )

Temos que, a derivada da função g(x) (que pode ser escrita como uma função do tipo acima com n = - 1 3 ) é, então:

d g ( x ) d x = - 1 3 x - 4 3 = - 1 3 x 1 x 3

A função h ( x ) , por outro lado, pode ser escrita como um polinômio de grau n = 1. Então, utilizando a linearidade da derivada, temos que

d h ( x ) d x = - 1 × x ⁰ = - 1

Então, a derivada de y(x), que é simplesmente a soma de g(x) e h(x), é dada por

d y d x = - 1 3 x 1 x 3 - 1

Resposta

d y d x = - 1 3 x 1 x 3 - 1

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