11) No instante t > 0 horas um veículo está 16 t 3 - 24 t + 16 quilômetros à leste de um ponto de referência na estrada.

(a) Qual a velocidade no instante t = 1 / 4 ? Nesse instante, o veículo está se afastando ou se aproximando do ponto de referência?

(b) Onde está o veículo quanto a velocidade é zero?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, foi dada uma função que vamos chamar de s t = 16 t 3 - 24 t + 16 , onde nessa função é expressada a posição de um veículo com relação ao tempo.

Foi dito também que o veículo está à leste do ponto de referência, em um plano cartesiano, isso significaria que o veículo está sob o semieixo positivo de x .

A questão pede para calcularmos a velocidade e a direção do movimento do veículo no instante t = 1 / 4 . Mas como vamos calcular isso se a questão só nos deu a função que descreve o movimento?? 🤔🤔

s t resulta em um valor em metros. Vemos em física que a derivada de uma função que descreve a posição de um objeto resulta em sua velocidade instantânea. Ou seja, se derivarmos s t vamos encontrar a função v t que nos dará a velocidade instantânea do nosso veículo.

Entendeu? Bora calcular essa função!

Passo 2

Derivando s t , temos

d s d t = d 16 t 3 - 24 t + 16 d t

Lembre que a derivada da soma é iguala soma das derivadas, logo

d s d t = d 16 t 3 - 24 t + 16 d t = d 16 t 3 d t - d 24 t d t + d 16 d t

Vamos calcular uma de cada vez para facilitar a visualização do que estamos fazendo

Primeiro calculamos

d 16 t 3 d t

A constante 16 pode sair fora da derivada e podemos escrever o radical como potência, veja só.

16 d t 3 2 d t

Calculando a derivada pela propriedade “derruba a potência e subtrai 1 dela”

16 d t 3 2 d t = 16 3 2 t 3 2 - 1

d 16 t 3 d t = 24 t 1 2

Ou então

d 16 t 3 d t = 24 t

Entendeu?

Passo 3

Vamos calcular a outra derivada

d 24 t d t

Partindo da mesma propriedade, temos

d 24 t d t = 24 t 1 - 1

Como t 1 - 1 = t 0 = 1 , então

d 24 t d t = 24

A ultima derivada é dada por

d 16 d t

Como sabemos, a derivada de uma constante é igual a 0 , então

d 16 d t = 0

Substituindo esses resultados em d s / d t , temos

d s d t = d 16 t 3 d t - d 24 t d t + d 16 d t

d s d t = 24 t - 24 + 0

Ou seja, a função que descreve a velocidade do veículo, é

v t = 24 t - 24

Bacana, não é?

Passo 4

No item a) queremos saber a velocidade do veículo no instante t = 1 / 4 , pra isso substituímos t por 1 / 4 em v t .

Veja só

v 1 4 = 24 1 4 - 24

A raiz de 1 / 4 é igual a 1 / 2 , logo

v 1 4 = - 12

Por esse sinal de menos estar aí, tendemos a imaginar que o veiculo está se afastando, não é?

Mas lembre-se que ele está à leste, ou seja, se ele se desloca a - 12 k m / h ele está indo no sentido contrário de x no plano cartesiano, logo ele está se aproximando da origem e do ponto de referência!

Ou seja, a resposta é que ele está a 12 k m / h se aproximando. 😉

Entendeu?

Passo 5

No item b) queremos saber onde está o veículo no momento em que sua velocidade é 0 .

Podemos pensar o seguinte: se v t expressa a velocidade, podemos faze-la ser igual a 0 e ver para qual valor de t a equação é satisfeita. Concorda?

v t = 0 = 24 t - 24

Com isso, obtemos a equação

24 t - 24 = 0

Passando o 24 para o outro lado com o sinal trocado, temos

24 t = 24

Vamos isolar t em um lado da equação

t = 24 24

t = 1

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz de t , temos

t 2 = 1 2

t = 1

Vemos que o momento em que o veículo atinge a velocidade 0 , é no instante t = 1 .

Para obter sua posição neste instante, vamos substituir t por 1 em s t .

s 1 = 16 1 - 24 1 + 16

s 1 = 32 - 24

Com isso, vemos que

s 1 = 8 k m

O veículo está a 8 k m do ponto de referência

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) O veículo está a 12 k m / h se aproximando.

b) O veículo está a 8 k m do ponto de referência.

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