Nas videoaulas, você viu as primeiras regras de derivação (veja quadros abaixo com três possíveis escritas). Sejam u e v funções de x e c um número real.

Utilize essa tabela e a tabela da lista de exercícios 2.5 na resolução dos exercícios.

Determine a derivada das funções abaixo.

a )   f x = csc ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O exercício nos deu essa função aqui

f x = csc ⁡ x

E pediu para encontrarmos a sua derivada! Mas com duas ajudas. A primeira é essa tabela aqui

Com várias regras de derivadas! Essa tabela serve para identificarmos quando nossa função pode ser escrita como um produto/quociente/soma/subtração de outras duas (ou mais) funções! Super útil!

E a segunda é a tabela do exercício 2.5, vou resgatar ela para você:

Então, uma fez identificado como nossa função pode ser reescrita, vamos identificar a derivada das principais funções com essa segunda tabela! E aí é só substituir tudo!

Mas relaxa! Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Nossa função é:

f x = csc ⁡ x

Sabemos que a cossecante é uma função inversa: é o inverso do seno!

5 csc ⁡ x = 5 sin ⁡ x  

Sendo assim, para derivar essa parte vamos usar a fórmula da quarta linha da primeira tabela, essa aqui

f x = u v → f ' x = u ' v - v ' u v 2

Identificamos que

u = 5

v = sin ⁡ x

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar u e v : u é uma constante, e sabemos que derivada de constante é zero! Já v é a função seno. Como essa fórmula está na segunda tabela é só consultar! Vamos usar a segunda linha da segunda tabela, essa aqui:

f x = sin ⁡ x → f ' x = cos ⁡ x

Aí temos

u = 5 → u ' = 0

v = sin ⁡ x → v ' = cos ⁡ x

Beleza?

Passo 4

Agora vamos substituir tudo na derivada do quociente!

Recapitulando nossa função:

f x = 5 sin ⁡ x

E a regra do quociente

f ' x = u ' v - v ' u v 2

Do passo anterior:

u = 5 → u ' = 0

v = sin ⁡ x → v ' = cos ⁡ x

Agora #partiu substituir:

f ' x = ( 0 ) sin ⁡ x - cos ⁡ x ( 5 ) sin ⁡ x 2 = - 5 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x

E agora? Deixamos assim? Não! Podemos usar que cos ⁡ x sin ⁡ x = cot ⁡ x , e deixar na forma em que usualmente encontramos em tabelas a derivada da cossecante:

f ' x = - 5 csc ⁡ x cot ⁡ x

E taí nosso resultado!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

f ' x = - 5 csc ⁡ x cot ⁡ x

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