Suponha que, após ser lançado para cima, a posição de um projétil é dada por s t = 80 t - 5 t ² , até o instante t 0 em que ele retorna ao solo

a) Calcule o tempo t 0 necessário para que o projétil retorne ao solo

b) Determina a velocidade v ( t ) do projétil, para t ∈ 0 , t 0 . O que acontece com a velocidade v ( t ) para t > t 0 ?

c) Determine a altura máxima atingida pelo projétil e o tempo necessário para que ele atinja esta altura. O que ocorre com a velocidade nesse instante?

Passo 1

Oiii gente, tudo certinho?

Ó, nessa questão temos um projétil que é lançado, e a posição dele é dada por essa equação:

s t = 80 t - 5 t 2

Primeiro queremos saber em que instante o projétil retorna ao solo. Ou seja: o instante t 0 em que s ( t ) volta a ser 0

Depois queremos encontrar a velocidade v ( t ) . Fazemos isso derivando s ( t )

Por fim, queremos encontrar a altura máxima atingida pelo projétil. Pra isso, basta a gente maximizar a função s ( t ) usando os conceitos de derivadas.

Então sucesso, vamos lá!

Passo 2

a) Queremos saber quando o projétil retorna pro chão. Ou seja, queremos que

s t = 80 t - 5 t 2 = 0

Repara que s t = 0 em dois instantes: em t = 0 (antes do projétil ser lançado) e em t = t 0 , quando o projétil já foi lançado e retorna pro chão

Quem queremos encontrar é o t 0

Então:

- 5 t 2 + 80 t = 0

t ∙ - 5 t + 80 = 0

Dessa igualdade, temos duas soluções:

t = 0 (não nos interessa)

E:

- 5 t + 80 = 0

5 t = 80

t = 16

E esse sim nos interessa!

Ou seja, o projétil é lançado e depois de 16   s e g u n d o s (considerando que o tempo esteja em segundos), ele retorna ao solo

t 0 = 16

Passo 3

b) A velocidade v ( t ) do projétil vai ser a derivada da posição s ( t )

s t = 80 t - 5 t 2

Sabemos que a derivada de a ∙ x é o próprio a

E a derivada de a ∙ x m é m ∙ a ∙ x m - 1

Então, a derivada de s ( t ) vai ser

s ' t = v t = 80 - 5 ∙ 2 ∙ t 2 - 1 = 80 - 10 t

Boa, já temos a expressão da velocidade para o intervalo de tempo [ 0 ; 16 ]

Aí ele pergunta o que acontece com a velocidade quando t > t 0 , ou seja, quando t > 16 (o valor que encontramos no item anterior)

Como em t = 16 o projétil chega ao solo, ele vai ficar parado, certo?

Dessa forma, pra t > 16 , a velocidade do projétil é v t = 0 😉

Passo 4

c) A altura máxima do projétil vai ser no ponto de máximo de s ( t )

O ponto de máximo de uma parábola vai acontecer quando a derivada dela for igual a 0

Ou seja, precisamos igualar a derivada de s ( t ) a 0. Mas sabemos que a derivada de s ( t ) é v ( t ) né? Então

v t = 0

- 10 t + 80 = 0

10 t = 80

t = 8   s e g u n d o s

Ou seja, o ponto de máximo acontece após 8 segundos do lançamento

A altura máxima, então, vai ser:

s 8 = 80 ∙ 8 - 5 ∙ 8 2

s 8 = 640 - 5 ∙ 64 = 320   m

Boaaa, então o projétil chega a 320   m e t r o s de altura!

Bastante né? hahaha

Resposta

a) t 0 = 16

b) v t = 80 - 10 t

Após 16 segundos, a velocidade é zero

c) 320   m e t r o s em t = 8   s e g u n d o s

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