Nas videoaulas, você viu as primeiras regras de derivação (veja quadros abaixo com três possíveis escritas). Sejam u e v funções de x e c um número real.

Utilize essa tabela e a tabela da lista de exercícios 2.5 na resolução dos exercícios.

Determine a derivada das funções abaixo.

c )   f x = 5 csc ⁡ x + cot ⁡ x + x 5 tan ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O exercício nos deu essa função aqui

f x = 5 csc ⁡ x + cot ⁡ x + x 5 tan ⁡ x

E pediu para encontrarmos a sua derivada! Mas com duas ajudas. A primeira é essa tabela aqui

Com várias regras de derivadas! Essa tabela serve para identificarmos quando nossa função pode ser escrita como um produto/quociente/soma/subtração de outras duas (ou mais) funções! Super útil!

E a segunda é a tabela do exercício 2.5, vou resgatar ela para você:

Então, uma fez identificado como nossa função pode ser reescrita, vamos identificar a derivada das principais funções com essa segunda tabela! E aí é só substituir tudo!

Mas relaxa! Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Nossa função é:

f x = 5 csc ⁡ x + cot ⁡ x + x 5 tan ⁡ x

De cara vemos que nossa função é a soma de três termos! Sabemos que a derivada da soma é a soma das derivadas, então vamos derivar termo a termo, depois juntar tudo!

Tranquilo?

Começando por 5 csc ⁡ x . Sabemos que a cossecante é uma função inversa: é o inverso do seno!

5 csc ⁡ x = 5 sin ⁡ x  

Sendo assim, para derivar essa parte vamos usar a fórmula da quarta linha da primeira tabela, essa aqui

f x = u v → f ' x = u ' v - v ' u v 2

Onde v = sin ⁡ x ,   v ' = cos ⁡ x , e u = 5 , u ' = 0 (linhas 2 e 1 da segunda tabela respectivamente)! Substituindo temos

5 csc ⁡ x ' = 5 sin ⁡ x ' = 0 . sin ⁡ x - 5 . ( cos ⁡ x ) sin 2 ⁡ x = - 5 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x   = - 5 csc ⁡ x cot ⁡ x

Tudo bem até aqui:

Passo 3

Agora vamos derivar o segundo termo:

cot ⁡ x '

A função cotangente pode ser reescrita como a razão entre o cosseno e o seno, assim podemos usar a regra do quociente para achar sua derivada!

cot ⁡ x ' = cos ⁡ x sin ⁡ x '

A regra do quociente está na quarta linha da primeira tabela:

f x = u v → f ' x = u ' v - v ' u v 2

E no nosso caso u = cos ⁡ x e v = sin ⁡ x . Resgatando as fórmulas das derivadas do seno e do cosseno (segunda linha da segunda tabela):

u = cos ⁡ x → u ' = - sin ⁡ x

v = sin ⁡ x → v ' = cos ⁡ x

Podemos calcular a derivada da cotangente:

cot ⁡ x ' = cos ⁡ x sin ⁡ x ' = ( - sin ⁡ x ) ( sin ⁡ x ) - ( cos ⁡ x ) ( cos ⁡ x ) ( sin ⁡ x ) 2 = - ( sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x ) sin 2 ⁡ x

E usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , temos a derivada da cotangente:

cot ⁡ x ' = - 1 sin 2 ⁡ x = - csc 2 ⁡ x

Beleza?

vamos para a derivada do último termo?

Passo 4

Agora vamos derivar o terceiro e último termo da função

x 5 tan ⁡ x '

Vemos aqui a multiplicação de dois termos: um polinômio pela tangente, então logo de cara vamos pensar em regra do produto (terceira linha da primeira tabela):

f x = u v → f ' x = u ' v - v ' u

Com u = x 5 (um polinômio que é bem tranquilo de derivar – primeira linha tabela 2) e v = tan ⁡ x , e aqui precisamos de atenção!

Assim como a cotangente, a tangente também é uma divisão de duas funções:

tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x

E antes de sair derivando esse terceiro termo, precisamos da derivada da tangente! Mas calma, o processo é bem parecido com a da cotangente, então vamos lá:

tan ⁡ x ' = sin ⁡ x cos ⁡ x '

A regra do quociente está na quarta linha da primeira tabela:

f x = u v → f ' x = u ' v - v ' u v 2

E no nosso caso u = cos ⁡ x e v = sin ⁡ x . Resgatando as fórmulas das derivadas do seno e do cosseno (segunda linha da segunda tabela):

u = sin ⁡ x → u ' = cos ⁡ x

v = cos ⁡ x → v ' = - sin ⁡ x

Podemos calcular a derivada da cotangente:

tan ⁡ x ' = sin ⁡ x cos ⁡ x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x - ( - sin ⁡ x ) ( sin ⁡ x ) ( cos ⁡ x ) 2 = ( sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x ) cos 2 ⁡ x

E usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , temos a derivada da cotangente:

tan ⁡ x ' = - 1 cos 2 ⁡ x = - sec 2 ⁡ x

Anota aí!

De volta para a derivada do nosso último termo

x 5 tan ⁡ x '

Usando a regrado produto:

x 5 tan ⁡ x ' = 5 x 4 tan ⁡ x + x 5 sec 2 ⁡ x

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Recapitulando nossa função:

f x = 5 csc ⁡ x + cot ⁡ x + x 5 tan ⁡ x

Derivamos cada termo individualmente

5 csc ⁡ x ' = - 5 csc ⁡ x cot ⁡ x

cot ⁡ x ' = - csc 2 ⁡ x

x 5 tan ⁡ x ' = 5 x 4 tan ⁡ x + x 5 sec 2 ⁡ x

Como a soma das derivadas é a derivada da soma:

f ' x = 5 csc ⁡ x ' + cot ⁡ x ' + x 5 tan ⁡ x '

f ' x = - 5 csc ⁡ x cot ⁡ x - csc 2 ⁡ x + 5 x 4 tan ⁡ x + x 5 sec 2 ⁡ x

E taí nosso resultado!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

f ' x = - 5 csc ⁡ x cot ⁡ x - csc 2 ⁡ x + 5 x 4 tan ⁡ x + x 5 sec 2 ⁡ x

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