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Exercícios Resolvidos de Análise Dimensional e de Unidades

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Enunciado

Tipler, Mosca; Física Para Cientistas e Engenheiros; 6ª Ed. - Capítulo 1, Seção 1, Questão 23.

(Cap 1 – Ex 23) Nas equações a seguir, a distância x está em metros, o tempo t está em segundos, e a velocidade v está em metros por segundo. Quais são as unidades do SI das constantes C 1 e C 2 ? (a) x = C 1 + C 2 t , (b) x = 1 2 C 1 t 2 , (c) v 2 = 2 C 1 x , (d) x = C 1 cos ⁡ ( C 2 t ) , (e) v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 2 .

Passo 1

Falaiii moçadinha, bora pra mais uma ?

Encostaaaaa

(a) A principal regra aqui é a seguinte: todos os termos da equação precisam ter as mesmas unidades. Um termo é uma parte da equação separada por um sinal de igual, soma ou subtração.

Vamos dar uma olhada na primeira equação:

x = C 1 + C 2 t

Segundo o enunciado, o termo da esquerda ( x ) esta em metros, então os outros termos também precisam estar.

Vamos usar os colchetes para representar a unidade de medida de uma variável. A primeira constante é mais fácil de determinar:

C 1 = m

Na segunda temos que considerar a multiplicação pelo tempo t em segundos:

C 2 t = C 2 t = m

C 2 s = m

C 2 = m s

Passo 2

(b) Agora a segunda equação:

x = 1 2 C 1 t 2

Mais uma vez os termos precisam estar em metros:

1 2 C 1 t 2 = m

O fator ½ não altera a unidade de medida, então vamos desconsiderá-lo:

1 2 C 1 t 2 = C 1 t 2 = C 1 s 2

C 1 s 2 = m

C 1 = m s 2

Passo 3

(c) Vamos olhar para a terceira equação:

v 2 = 2 C 1 x

A unidade do termo da esquerda é a seguinte:

v 2 = m 2 s 2

Então:

2 C 1 x = C 1 x = m 2 s 2

C 1 x = C 1 x = C 1 m = m 2 s 2

C 1 = m s 2

Passo 4

(d) Mais uma vez queremos que os termos tenham unidades de posição:

x = C 1 cos ⁡ C 2 t

C 1 cos ⁡ C 2 t = m

O cosseno não “gera” nenhuma unidade de medida, então podemos tirar ele da expressão:

C 1 = m

E para encontrar a unidade do C 2 , temos que garantir que o argumento do cosseno também não tenha unidade:

C 2 t = 1

C 2 = 1 s

Obs.: Na realidade o argumento do cosseno pode estar em radianos, mas essa é o que chamamos de uma quantidade adimensional.

Passo 5

(e) Repetindo o mesmo procedimento:

v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 2

v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 2

E os dois termos da direita precisam ter a mesma unidade de medida que o da esquerda. Para o primeiro termo temos a seguinte relação:

2 C 1 v = C 1 v = m 2 s 2

C 1   m s = m 2 s 2         ⇒           C 1 = m s

E para o segundo:

C 2 x 2 = m 2 s 2         ⇒           C 2 2 m 2 = m 2 s 2

C 2 2 = C 2 2 = 1 s 2         ⇒         C 2 = 1 s

Resposta

(a) C 1 está em m e C 2 em m / s .

(b) C 1 está em m / s 2 .

(c) C 1 está em m / s 2

(d) C 1 está em m e C 2 está em s - 1 .

(e) C 1 está em m / s e C 2 está em s - 1 .

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