A terceira lei de Kepler relaciona o período de um planeta com o raio de sua órbita , a constante da lei de Newton da gravitação () e a massa do sol . Qual a combinação destes fatores fornece as dimensões corretas para o período de um planeta ?
Passo 1
Precisamos chegar na combinação correta dos fatores pra gente encontrar a dimensão do período, e a unidade desse período é o tempo. Usaremos aqui na análise a massa dos corpos com dimensão massa e a distância que tem dimensão de comprimento.
Passo 2
Vamos dar uma boa olhada na equação da força gravitacional.
Daí dessa equação são conhecidas duas dimensões, ambas as massas tem a unidade de massa e a distância tem unidade de comprimento.
Opa mas e o ? Como a gente descobre sua dimensão? Vamos pegar a equação e mexer nela um pouquinho, ela vai ficar com essa carinha aqui.
Conhecemos algumas unidades mas a dimensão da força pode não ser tão simples de visualizar, vamos usar a lei de newton pra entender melhor essa dimensão.
A massa tem unidade de massa e a aceleração tem unidade de comprimento por tempo ao quadrado , logo a unidade da força é.
Por fim encontramos a dimensão de .
Agrupando as unidades e eliminando alguns termos semelhantes temos:
Passo 3
O enunciado nos diz que o período do planeta é relacionado com a distânicia com a constante gravitacional e com a massa do sol, mas não como é essa relação. Vamos escrever então essa relação de uma forma genérica elevando cada uma das grandezas á um expoente que precisaremos calcular pra chegar na dimensão tempo.
Onde é uma constante adimensional qualquer.
Substituindo as dimensões encontradas temos:
Se liga que agora é o pulo do gato da questão.
As unidades do lado esquerdo da equação precisam ser as mesmas que as do lado direito. Ué, mas como se não temos nem e muito menos do lado esquerda? Se liga, temos sim. Lembra que qualquer número elevado á é 1? Isso vale pras nossas unidades também:
Então olha essa galera aí multiplicando o
Agora é trabalhar os expoentes do outro lado e deixar as unidades separadas, primeiro vamos abrir a galera que tá sob o expoente
Agora deixaremos as unidades juntas, comprimento com comprimento, massa com massa e tempo com tempo.
Passo 4
A partir desses expoentes vamos montar um sisteminha, o expoente que aparece em uma unidade de um lado deve ser igual ao que aparece do outro lado.
Igualando os expoentes temos esse sisteminha aquiP
Resolvendo o sistema encontramos os seguintes valores:
Passo 5
Ufa, finalmente chegamos ao final! Agora é só substituir os valores encontados na equação original: