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Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

UFRJ – Cálculo IV 2020/2 – P3 - Questão 1

Determine a transformada inversa de Laplace de 1 s 3 - 2 s 2 :

a )   e 2 x - 2 x + 1 4

b )   e 2 x + 2 x - 1 4

c )   e 2 x - 2 x - 1 4

d )   e 2 x - x - 1 4

Passo 1

Vamos começar!

Se liga! Primeiro vamos rearranjar a expressão...

1 s 3 - 2 s 2 = 1 s 2 ( s - 2 )

Organizando em frações parciais...

1 s 3 - 2 s 2 = 1 s 2 ( s - 2 ) = A s + B s 2 + C s - 2

1 s 2 ( s - 2 ) = A s 2 + B s - 2 A s - 2 B + C s 2 s 2 ( s - 2 )

Temos que

A + C = 0 B - 2 A = 0 - 2 B = 1

Passo 2

E então, resolvendo membro a membro...

- 2 B = 1

B = - 1 2

B - 2 A = 0

B = 2 A

A = B 2 = - 1 4

A + C = 0

C = - A

C = 1 4

Chegamos à seguinte expressão...

1 s 2 ( s - 2 ) = - s 4 - 1 2 s 2 + 1 4 s - 2

1 s 2 ( s - 2 ) = - 1 4 s - 1 2 s 2 + 1 4 ( s - 2 )

Aplicando a Transformada inversa

L - 1 1 s 2 ( s - 2 ) = L - 1 - 1 4 s - 1 2 s 2 + 1 4 s - 2 =

= - 1 4 L - 1 1 s - 1 2 L - 1 1 s 2 + 1 4 L - 1 1 s - 2 =

= - 1 4 - 1 2 x + 1 4 e 2 x = e 2 x - 2 x - 1 4

E a resposta correta é a letra (c)!

Resposta

c )   e 2 x - 2 x - 1 4

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