Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

Nos problemas de (a) até (p) use o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar f ( t ) .

(k)   ℒ - 1 { s s 2 + 2 s - 3 }  

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que usar o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar a f ( t ) :

  ℒ - 1 { s s 2 + 2 s - 3 }  

Vamos manipular essa função, se necessário, e então utilizar a tabela de transformada de Laplace. Vem comigo!

Passo 2

Então, fatorando o denominador e escrevendo como soma de frações parciais

  ℒ - 1 { s s 2 + 2 s - 3 }     = ℒ - 1 { s ( s - 1 ) ( s + 3 ) } = ℒ - 1 { A ( s - 1 ) + B ( s + 3 ) }

Para encontrar A e B, temos que

s ( s - 1 ) ( s + 3 ) = A   ( s + 3 ) + B   ( s - 1 ) ( s - 1 ) ( s + 3 ) - > s = A   ( s + 3 ) + B   ( s - 1 )

Então, resolvemos o sistema

3 A - B = 0 - > B = 3 A

A + B = 1 - > 4 A = 1

A = 1 4 ,   B = 3 4

Substituindo

ℒ - 1 { A ( s - 1 ) + B ( s + 3 ) } = ℒ - 1 { 1 4 1 s - 1 + 3 4 1 s + 3 }

Lembrando que a transformada inversa da soma é a soma das transformadas

ℒ - 1 { 1 4 1 s - 1 + 3 4 1 s + 3 } = 1 4 ℒ - 1 { 1 s - 1 } + 3 4 ℒ - 1 { 1 s + 3 }

Passo 3

Temos que, se ℒ {   f ( t ) } é a transformada de Laplace de f ( t ) , então dizemos que f ( t ) = ℒ - 1 {   f ( t ) } é a transformada inversa de Laplace da função   F ( s ) . Então, sabendo disso, já podemos utilizar a tabela para obter a f ( t ) . Temos que

ℒ { e t } =     1 s - 1

ℒ { e - 3 t } =     1 s + 3

Passo 4

Assim,

1 4 ℒ - 1 { 1 s - 1 } + 3 4 ℒ - 1 { 1 s + 3 } = 1 4 e t + 3 4 e - 3 t

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  ℒ - 1 { s s 2 + 2 s - 3 } = 1 4 e t + 3 4 e - 3 t

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