UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 12a
Inverta as seguintes transformadas usando a convolução.
Passo 1
Faaala galerinha, tudo bom com vocês?
Nessa questão recebemos uma função dada por:
O objetivo é que determinemos quem é a tal que:
Ou seja, queremos descobrir quanto a vale a inversa de :
Tranquilo?
Pra fazer isso o enunciado nos pede para usar a convolução, então vamos dar uma revisada nessa ideia.
Basicamente, se:
Então, dizemos que a convolução de e obedece:
E, pra calcular a convolução, basta fazer:
Ou seja, no fim da contas, o que realmente estamos afirmando e que usaremos pra matar o nosso problema é que:
Beleza? Então vamo nessa!!
Passo 2
Bom, temos que:
Pra usar a ideia da convolução, precisamos separar como o produto de duas funções de que conhecemos as transformadas de antemão.
Como:
Podemos separar as funções como sendo:
Daí:
E:
Assim:
Portanto, sobre a inversa de , como , temos que:
Ou seja:
Perfeito! Nossa missão é resolver essa integral!
Passo 3
Queremos resolver:
Manipulando o integrando:
Substituindo os intervalos de integração, vamos ter:
Prontinho gente! É isso aí, entenderam a solução?!
Até a próxima 😊