Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

Inverta as seguintes transformadas usando a convolução.

d ) 40,5 s s 2 - 9

Passo 1

E aí gente bonita, tudo tranquilo por aí?

Nessa questão recebemos uma função F ( s ) dada por:

H s =   40,5 s s 2 - 9

O objetivo é que determinemos quem é a h ( t ) tal que:

L h t = H ( s )

Ou seja, queremos descobrir quanto a vale a inversa de F ( s ) :

L - 1 H s = h ( t )

Tranquilo?

Pra fazer isso o enunciado nos pede para usar a convolução, então vamos dar uma revisada nessa ideia.

Basicamente, se:

F s = L { f t } G s = L { g t }

Então, dizemos que a convolução de f e g obedece:

L - 1 F s ⋅ G s = ( f * g ) ( t )

E, pra calcular a convolução, basta fazer:

f * g t = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ = ∫ 0 t f t g t - τ d τ

Ou seja, no fim da contas, o que realmente estamos afirmando e que usaremos pra matar o nosso problema é que:

L - 1 F s ⋅ G s = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ = ∫ 0 t f t g t - τ d τ

Beleza? Então vamo nessa!!

Passo 2

Bom, temos que:

H s =   40,5 s s 2 - 9

Pra usar a ideia da convolução, precisamos separar H ( s ) como o produto de duas funções de s que conhecemos as transformadas de antemão.

Como:

L - 1 1 s = 1

E:

L - 1 1 s 2 - a 2 = 1 a e a t - e - a t 2

Podemos separar a nossa função H ( s ) , como:

F s = 1 s

∴ f t = 1

E:

G s = 1 s 2 - 9

∴ g t = 1 3 ⋅ e 3 t - e - 3 t 2

Muito bom!

Assim, já que:

H s = 40,5 ⋅ F s ⋅ G s

∴ h t = 40,5 ⋅ L - 1 { F s ⋅ G s }

E, como vimos no passo 1 , vale que:

h t = 40,5 ⋅   ∫ 0 t 1 ⋅ 1 3 ⋅ e 3 t - e - 3 t 2 d τ

( observação: f t - τ = 1 ) .

Prontinho! Precisamos calcular essa integral!

Passo 3

Queremos calcular:

40,5 ⋅ ∫ 0 t 1 ⋅ 1 3 ⋅ e 3 τ - e - 3 τ 2 d τ

Vamos colocar as constantes para fora:

40,5 6 ⋅ ∫ 0 t e 3 t - e - 3 t d τ

= 40,5 6 ⋅ e 3 τ + e - 3 τ 3 0 t

∴ h ( t ) = 40,5 18 ⋅ e 3 t + e - 3 t - 2

Aeee, terminamos!!

Espero que vocês tenham conseguido entender bem direitinho!

Até a próxima 😊

Resposta

40,5 18 ⋅ e 3 t + e - 3 t - 2

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