UTFPR, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, Listas 1, Questão 4p
Nos problemas de (a) até (p) use o teorema da transformada inversa para encontrar .
(p)
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos que usar o teorema da transformada inversa para encontrar a :
Vamos manipular essa função, se necessário, e então utilizar a tabela de transformada de Laplace. Vem comigo!
Passo 2
Precisamos escrever nossa fração como uma soma de frações parciais
Para encontrar A, B e C, temos que
que resulta na igualdade
Então, igualando os coeficientes de e constantes de ambos os lados, temos que
precisamos resolver o sistema para todas as constantes! Bora lá!
Passo 3
Temos da terceira equação que
usando isso na segunda equação, temos que
portanto, temos que
Usando então a primeira equação, temos então que
Que resulta em , e portanto, temos que
e
e, a nossa transformada se torna
Agora podemos começar a identificar os termos! Saca só!
Passo 4
Lembrando que a transformada inversa da soma é a soma das transformadas
Temos que, se é a transformada de Laplace de , então dizemos que é a transformada inversa de Laplace da função . Então, sabendo disso, já podemos utilizar a tabela para obter a . Temos que
quase todos podem ser identificados diretamente em nossa transformada, com exceção do seno, mas, se multiplicarmos e dividirmos por , o termo de , podemos escrever
de forma que temos finalmente
ou resumindo, temos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!