( b ) Expresse a transformada de Laplace inversa da função

F s = s s 2 + 4 s + 2 2

em termos de uma convolução. (Calcule explicitamente o integrando da convolução. Não precisa calcular a integral de convolução.)

Passo 1

Para encontrar a transformada de Laplace inversa de F ( s ) , fazemos:

F s = s s 2 + 4 . 1 s + 2 2

E aplicamos a transformada inversa (lembrando que um produto de transformadas equivale a convolução no domínio do tempo):

L - 1 { F s } = L - 1 s s 2 + 4 . 1 s + 2 2

L - 1 F s = L - 1 s s 2 + 4 * L - 1 1 s + 2 2

Passo 2

Vamos lembrar, agora:

L - 1 s s 2 + 4 = c o s ⁡ ( 2 t )

L - 1 1 s + 2 2 = e - 2 t L - 1 1 s 2 = e - 2 t t

Passo 3

Assim, compondo os resultados:

L - 1 F s = cos ⁡ 2 t * e - 2 t t

L - 1 F s = ∫ 0 t cos ⁡ 2 ( t - τ ) e - 2 τ τ   d τ

ou

L - 1 F s = ∫ 0 t cos ⁡ 2 τ e - 2 t - τ ( t - τ )   d τ

Resposta

L - 1 F s = ∫ 0 t cos ⁡ 2 ( t - τ ) e - 2 τ τ   d τ   ou L - 1 F s = ∫ 0 t cos ⁡ 2 τ e - 2 t - τ ( t - τ )   d τ .

Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.5. F(s) = (2s + 2) / (s^2 + 2s + 5)
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.1. F(s) = 3 / (s^2 + 4)
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.6. F(s) = (2s - 3) / (s^2 - 4)
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.4. F(s) = (3s) / (s^2 - s - 6)
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.3. F(s) = 2 / (s^2 + 3s - 4)