Calcule a derivada de:

f x = 1 + ln ⁡ x + 1 ,     x > 0

Passo 1

Quando a questão pede que você somente ache uma derivada, e a função é complicada, devemos começar a pensar se não vale a pena uma saída alternativa para o problema.

O que todo mundo pensa é tentar sair derivando e mandando várias regras da cadeia pra dentro. Mas talvez seja mais interessante pensar em derivadas implícitas. A gente só vai ver isso no próximo capítulo, então, vou te sugerir uma parada: volta aqui depois e tenta resolver essa questão por derivação implícita.

Por enquanto, vamos fazer da maneira que usamos até agora, beleza? Usando a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar a fazer as derivadas, usando a regra da cadeia, uma função por vez. Mãos à obra:

f ' x = 1 + ln ⁡ x + 1 '

f ' x = 1 2 1 + ln ⁡ x + 1 1 + ln ⁡ x + 1 '

Ok, até agora? Vamos guardar esse resultado e seguir derivando.

1 + ln ⁡ x + 1 ' = 1 x + 1 x + 1 '

Indolor até agora, né? Prometo que essa é a última.

x + 1 ' = 1 2 x   x ' = 1 2 x  

Pronto! Agora é só colocar tudo de volta no f ' ( x ) e dar aquela arrumada.

Passo 3

Vamos lá. Lembra que: f ' x = 1 2 1 + ln ⁡ x + 1 ⋅ 1 x + 1 ⋅ 1 2 x  

Agora é só dar uma arrumada pra ficar bonito!

f ' x = 1 4 1 + ln ⁡ x + 1 x ( x + 1 )

Resposta

f ' x = 1 4 1 + ln ⁡ x + 1 x ( x + 1 )

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